Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mi 15.08.2012 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | x'=xt, x(1)=1
Folgende DGL soll mittels der Lösungsmethode "Trennung der Variablen" gelöst werden. |
Hallo an alle,
ich habe mir im Internet schon einige Erklärungen zu dieser Lösungsmethode angesehen und versucht, die DGL so zu lösen:
[mm] x'=\bruch{dx}{dt}=xt
[/mm]
[mm] \gdw \integral \bruch{1}{x}dx=\integral [/mm] tdt
[mm] \gdw x(t)=\bruch{t^{2}}{2}+c
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x(1)=0.5+c [mm] \Rightarrow [/mm] c=0.5 [mm] \Rightarrow x(t)=\bruch{t^{2}}{2}+\bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das so richtig?
Wie gesagt, diesen Ansatz habe ich aus dem Internet, mein Skript verstehe ich diesbezüglich leider nicht, könnte mir jemand helfen zu kombinieren, inwiefern und ob meine obere Vorgehensweise mit der Definition meines Skripts zusammenhängt? (Ich hoffe es ist verständlich, was ich meine  )
Skript:
Trennung der Variablen:
x'=f(x)g(x)
[mm] x(t_{0})=x_{0}
[/mm]
d.h. F(x,t)=f(x)g(x)
1) [mm] f(x_{0})=0 \Rightarrow x(t)=x_{0} [/mm] diese Lösung der Gleichung ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert.
2) [mm] f(x_{0})\not=0; [/mm] ist f stetig, so gilt [mm] f(x)\not=0 [/mm] in einer Umgebung von [mm] x_{0}. [/mm] Angenommen [mm] x:(t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon) \to \IR [/mm] ist eine Lösung der DGL, dann gilt x'(t)=f(x(t))g(t). Für t nahe [mm] t_{0} [/mm] ist [mm] f(x(t))\not=0 \Rightarrow \bruch{x'(t)}{f(x(t))}=g(t).
[/mm]
Sei F(y) eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{f(y)}, [/mm] d.h. [mm] F'(y)=\bruch{1}{f(y)}, [/mm] dann gilt [mm] \bruch{d}{dt}F8x(t))=F'(x(t))x(t)=\bruch{1}{f(x(t))}x(t)=g(t). [/mm]
[mm] \Rightarrow F(x(t))=\integral [/mm] g(t) dt + [mm] F(x(t_{0})).
[/mm]
Kann mir bitte jemand diese Lösungsmethode, wie sie im Skript erklärt ist erläutern? Ich verstehe hauptsächlich Bahnhof :S
Und den Zusammenhang meiner Lösung und der Vorgehensweise im Skript würde ich auch gerne verstehen
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 15.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> x'=xt, x(1)=1
>
> Folgende DGL soll mittels der Lösungsmethode "Trennung der
> Variablen" gelöst werden.
> Hallo an alle,
> ich habe mir im Internet schon einige Erklärungen zu
> dieser Lösungsmethode angesehen und versucht, die DGL so
> zu lösen:
>
> [mm]x'=\bruch{dx}{dt}=xt[/mm]
> [mm]\gdw \integral \bruch{1}{x}dx=\integral[/mm] tdt
> [mm]\gdw x(t)=\bruch{t^{2}}{2}+c[/mm]
Das stimmt nicht. Sondern
[mm] ln(x(t))=\bruch{t^{2}}{2}+c
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x(1)=0.5+c
> [mm]\Rightarrow[/mm] c=0.5 [mm]\Rightarrow x(t)=\bruch{t^{2}}{2}+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nein. Dass [mm] x(t)=\bruch{t^{2}}{2}+\bruch{1}{2} [/mm] keine Lösung der Dgl. ist sieht man doch durch nachrechnen !
> Wie gesagt, diesen Ansatz habe ich aus dem Internet, mein
> Skript verstehe ich diesbezüglich leider nicht, könnte
> mir jemand helfen zu kombinieren, inwiefern und ob meine
> obere Vorgehensweise mit der Definition meines Skripts
> zusammenhängt? (Ich hoffe es ist verständlich, was ich
> meine )
>
> Skript:
> Trennung der Variablen:
> x'=f(x)g(x)
Das steht so sicher nicht in Deinem Skript.
Sondern: x'=f(x)g(t)
> [mm]x(t_{0})=x_{0}[/mm]
> d.h. F(x,t)=f(x)g(x)
> 1) [mm]f(x_{0})=0 \Rightarrow x(t)=x_{0}[/mm] diese Lösung der
> Gleichung ist auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert.
> 2) [mm]f(x_{0})\not=0;[/mm] ist f stetig, so gilt [mm]f(x)\not=0[/mm] in
> einer Umgebung von [mm]x_{0}.[/mm] Angenommen
> [mm]x:(t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon) \to \IR[/mm] ist eine
> Lösung der DGL, dann gilt x'(t)=f(x(t))g(t). Für t nahe
> [mm]t_{0}[/mm] ist [mm]f(x(t))\not=0 \Rightarrow \bruch{x'(t)}{f(x(t))}=g(t).[/mm]
>
> Sei F(y) eine Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{f(y)},[/mm] d.h.
> [mm]F'(y)=\bruch{1}{f(y)},[/mm] dann gilt
> [mm]\bruch{d}{dt}F8x(t))=F'(x(t))x(t)=\bruch{1}{f(x(t))}x(t)=g(t).[/mm]
> [mm]\Rightarrow F(x(t))=\integral[/mm] g(t) dt + [mm]F(x(t_{0})).[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand diese Lösungsmethode, wie sie im
> Skript erklärt ist erläutern? Ich verstehe hauptsächlich
> Bahnhof :S
> Und den Zusammenhang meiner Lösung und der Vorgehensweise
> im Skript würde ich auch gerne verstehen
Wir haben die Dgl. x'=f(x)g(t) oder [mm] \bruch{dx}{dt}=f(x)g(t). [/mm] Nun trennen wir die Variablen:
[mm] \bruch{dx}{f(x)}=g(t)dt.
[/mm]
Wir integrieren:
(*) [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{dx}{f(x)}}=\integral_{}^{}{g(t) dt}+c
[/mm]
Die allgemeine Lösung der Dgl. erhält man durch auflösen der gl. (*) nach x.
Dass man wie oben vorgehen darf, rechtfertigen die Ausführungen in Deinem Skript.
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus
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Hallo Paula,
> Vielen Dank für die Antwort, mein Skript verstehe ich
> jetzt besser, aber eine Frage bleibt noch offen:
>
> > > x'=xt, x(1)=1
>
> > >
> > > [mm]x'=\bruch{dx}{dt}=xt[/mm]
> > > [mm]\gdw \integral \bruch{1}{x}dx=\integral[/mm] tdt
> > > [mm]\gdw x(t)=\bruch{t^{2}}{2}+c[/mm]
> >
> > Das stimmt nicht. Sondern
> >
> > [mm]ln(x(t))=\bruch{t^{2}}{2}+c[/mm]
> >
>
> Woher kommt denn jetzt das ln?
Na, was ist denn das Integral [mm] \int{\bruch{1}{x}\ dx} [/mm] ?
> Und ab welchem Schritt habe ich den Fehler gemacht, bzw.
> ist mein Ansatz falsch?
Nein, Du hast nur "links" kurzerhand mal nicht integriert, sondern einfach etwas Neues hingeschrieben.
> Ich bitte um Erklärung, vielen Dank
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 15.08.2012 | | Autor: | paula_88 |
> Hallo Paula,
>
> > Vielen Dank für die Antwort, mein Skript verstehe ich
> > jetzt besser, aber eine Frage bleibt noch offen:
> >
> > > > x'=xt, x(1)=1
> >
> > > >
> > > > [mm]x'=\bruch{dx}{dt}=xt[/mm]
> > > > [mm]\gdw \integral \bruch{1}{x}dx=\integral[/mm] tdt
> > > > [mm]\gdw x(t)=\bruch{t^{2}}{2}+c[/mm]
> > >
> > > Das stimmt nicht. Sondern
> > >
> > > [mm]ln(x(t))=\bruch{t^{2}}{2}+c[/mm]
> > >
> >
> > Woher kommt denn jetzt das ln?
>
> Na, was ist denn das Integral [mm]\int{\bruch{1}{x}\ dx}[/mm] ?
>
> > Und ab welchem Schritt habe ich den Fehler gemacht, bzw.
> > ist mein Ansatz falsch?
>
> Nein, Du hast nur "links" kurzerhand mal nicht integriert,
> sondern einfach etwas Neues hingeschrieben.
Ups, danke für den Hinweis, jetzt ist's klar :)
Liebe Grüße Paula
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