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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Trennung der Variablen
Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Trennung der Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:41 Do 20.11.2008
Autor: green_apple

Aufgabe
[mm] p'(t)=a*p(t)-b*(p(t))^2 [/mm]

Hallo,
ich soll diese DGL durch trennung der variablen lösen. habs mal so probiert:

[mm] \bruch{dp(t)}{dt}=a*p(t)-b*(p(t))^2 [/mm]
[mm] \bruch{dp(t)}{a*p(t)-b*(p(t))^2}=dx [/mm]
[mm] a*\integral_{}^{}{1/(p(t)dt}-b*\integral_{}^{}{1/(p(t))^2) dt}=\integral_{}^{}{xdx} [/mm]
[mm] a*ln(|p(t)|)+c1+b*1/p(t)+c2=\bruch{x^2}{2} [/mm]

stimmt das bis dahin mal?
Lg

        
Bezug
Trennung der Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:02 Do 20.11.2008
Autor: smarty

Hallo,

> [mm]p'(t)=a*p(t)-b*(p(t))^2[/mm]
>  Hallo,
>  ich soll diese DGL durch trennung der variablen lösen.
> habs mal so probiert:
>  
> [mm]\bruch{dp(t)}{dt}=a*p(t)-b*(p(t))^2[/mm]
>  [mm]\bruch{dp(t)}{a*p(t)-b*(p(t))^2}=dx[/mm]

warum dx?


>  [mm]a*\integral_{}^{}{1/(p(t)dt}-b*\integral_{}^{}{1/(p(t))^2) dt}=\integral_{}^{}{xdx}[/mm]

das verstehe ich nicht [kopfkratz3]  Wo kommt rechts das x her? Wie kommen a und b aus dem Nenner in den Zählerbereich. Du hast wohl nicht einfach den Nenner getrennt, oder?

[mm] \bruch{1}{d-e}\not=\bruch{1}{d}-\bruch{1}{e} [/mm]


Grüße
Smarty

> [mm]a*ln(|p(t)|)+c1+b*1/p(t)+c2=\bruch{x^2}{2}[/mm]
>  
> stimmt das bis dahin mal?
>  Lg


Bezug
        
Bezug
Trennung der Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Do 20.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo green_apple,

> [mm]p'(t)=a*p(t)-b*(p(t))^2[/mm]
>  Hallo,
>  ich soll diese DGL durch trennung der variablen lösen.
> habs mal so probiert:
>  
> [mm]\bruch{dp(t)}{dt}=a*p(t)-b*(p(t))^2[/mm]
>  [mm] $\bruch{dp(t)}{a*p(t)-b*(p(t))^2}=\red{1}$ [/mm]

Das sagte Smarty ja auch schon ...

>  [mm]a*\integral_{}^{}{1/(p(t)dt}-b*\integral_{}^{}{1/(p(t))^2) dt}=\integral_{}^{}{xdx}[/mm]

Was ist hier auf der linken Seite passiert?

Zu lösen ist [mm] $\int{\frac{1}{ap-bp^2} \ dp} [/mm] \ = \ [mm] \int{1 \ dt}$ [/mm]

Schreibe [mm] $\frac{1}{ap-bp^2}=\frac{1}{p\cdot{}(a-bp)}$ [/mm] und mache hier eine Partialbruchzerlegung:

[mm] $\frac{1}{p\cdot{}(a-bp)}=\frac{X}{p}+\frac{Y}{a-bp}$ [/mm]


>  
> [mm]a*ln(|p(t)|)+c1+b*1/p(t)+c2=\bruch{x^2}{2}[/mm]
>  
> stimmt das bis dahin mal?
>  Lg


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Trennung der Variablen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Do 20.11.2008
Autor: green_apple

danke für die verbesserung, ich war wohl gestern zu nächtlicher stunde etwas verwirrt und hab nicht nachgedacht was ich da tu. natürlich muss man hier eine partialbruchzerlegung machen:
1=X*(a-bp)+Yp
1=aX-bpX+Yp
1=p*(-bX+Y)+aX
[mm] p^0: [/mm] 1=aX [mm] \gdw [/mm] X=1/a
[mm] p^1: [/mm] 0=-bX+Y [mm] \gdw [/mm] b/a=Y

dann erhalte ich also
[mm] \int{\frac{1}{ap-bp^2} \ dp} =\bruch{1}{a}\int{\bruch{1}{p}dp}+\bruch{b}{a}\int{\bruch{1}{a-bp}dp} [/mm]

[mm] \bruch{lnp}{a}+c_{1}+\bruch{b}{-ba}ln|a-bp|+c_{2}=t+c_{3} [/mm]

und dann das ganze nach p auflösen?
bräucht ich für die drei konstanten drei anfangswertbedingungen?

lg


Bezug
                        
Bezug
Trennung der Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Do 20.11.2008
Autor: smarty

Hallo,

die Konstanten kannst du alle zu einer zusammenfassen.


Viele Grüße
Smarty

Bezug
                                
Bezug
Trennung der Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Do 20.11.2008
Autor: green_apple

stimmt natürlich. und sonst passts?
lg

Bezug
                                        
Bezug
Trennung der Variablen: sieht gut aus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Do 20.11.2008
Autor: Roadrunner

Hallo green apple!


> und sonst passts?

[ok] Yep!


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                
Bezug
Trennung der Variablen: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 Do 20.11.2008
Autor: green_apple

dankeschön :)

Bezug
                                        
Bezug
Trennung der Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Do 20.11.2008
Autor: smarty

Hallo,

> stimmt natürlich. und sonst passts?
>  lg

ja, du könntest sogar aus [mm] c_1+c_2+c_3=ln(C) [/mm] machen :-)


Grüße
Smarty

Bezug
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