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Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Trennung der Variablen: Stammfunktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 Mi 08.10.2008
Autor: TTaylor

Hallo ich würde gerne die Aufgabe :
[mm]2xz'z= z^2-1 [/mm]durch Trennen der Variablen lösen.
z'= 1/2x * [mm] (z^2-1)z [/mm]
ich muss hier doch eine Stammfkt zu [mm]\bruch{1}{(z^2-1)z} [/mm]und zu 1/2x  bilden.
Ich bin leider zu doof solche Stammfuntionen zu bilden.

Könnte mir bitte jemand helfen.

        
Bezug
Trennung der Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Mi 08.10.2008
Autor: fred97


> Hallo ich würde gerne die Aufgabe :
>  [mm]2xz'z= z^2-1 [/mm]durch Trennen der Variablen lösen.
>  z'= 1/2x * [mm](z^2-1)z[/mm]
>  ich muss hier doch eine Stammfkt zu [mm]\bruch{1}{(z^2-1)z} [/mm]und
> zu 1/2x  bilden.
>  Ich bin leider zu doof solche Stammfuntionen zu bilden.
>  
> Könnte mir bitte jemand helfen.


[mm] \bruch{1}{(z^2-1)z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(z-1)(z+1)z} [/mm]

Jetzt Partialbruchzerlegung


Bei [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] denke an den Logarithmus

FRED

Bezug
        
Bezug
Trennung der Variablen: anders umgeformt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mi 08.10.2008
Autor: Roadrunner

Hallo TTaylor!


> Hallo ich würde gerne die Aufgabe :
>  [mm]2x*z'*z= z^2-1 [/mm] durch Trennen der Variablen lösen.

Hier erhalte ich nach der Umformung aber:
[mm] $$\bruch{z}{z^2-1} [/mm] \ dz \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x} [/mm] \ dx$$
Auf der linken Seite kannst Du mittels Substitution $u \ := \ [mm] z^2-1$ [/mm] bzw. mittels logarithmischer Integration vorgehen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Trennung der Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Mi 08.10.2008
Autor: TTaylor


> Hier erhalte ich nach der Umformung aber:
>  [mm]\bruch{z}{z^2-1} \ dz \ = \ \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x} \ dx[/mm]
>  
> Auf der linken Seite kannst Du mittels Substitution [mm]u \ := \ z^2-1[/mm]
> bzw. mittels logarithmischer Integration vorgehen.
>  

Also mir ist jetzt klar: 1/2 ln|x|.
Aber das mir der Substitution verstehe ich immer noch nicht.
[mm]\bruch{\wurzel{u+1}}{u}[/mm].

wie erhalt ich dann hier die Stammfunktion. Ich verstehe es einfach nicht.

Bezug
                        
Bezug
Trennung der Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Mi 08.10.2008
Autor: Herby

Hallo,

> > Hier erhalte ich nach der Umformung aber:
>  >  [mm]\bruch{z}{z^2-1} \ dz \ = \ \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x} \ dx[/mm]

Ich hätte die 2 gleich auf der linken Seite gelassen, dann hast du nämlich folgende Situation

[mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)}\ dx}=ln|f(x)|+C\quad \text{f"ur\ alle}\quad C\in\IR [/mm]

schau' mal genau hin:

[mm] \integral{\bruch{2z}{z^2-1}\ dz}=.... [/mm]


Liebe Grüße
Herby

Bezug
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