Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | | [mm] y'=-xy^{2} [/mm] |
Guten Abend!
Ich versuche mir gerade die Methode der Trennung der Variablen anzueignen und habe eine kleine Frage:
Bei diesem Beispiel ist mir so weit das meisste klar:
[mm] y'=-xy^{2} \gdw \bruch{dy}{dx}=-xy^{2}
[/mm]
Trennung der Variablen:
[mm] \bruch{dy}{-y^{2}}=x [/mm] dx
Integration
[mm] \int{\bruch{dy}{-y^{2}}}=\int{x dx}
[/mm]
Dann würde ich auf:
y= [mm] \bruch{2}{x^{2}}+C [/mm] kommen
In der Lösung geht es folgendermassen weiter:
[mm] y^{-1}=\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}C
[/mm]
[mm] y=\bruch{2}{x^{2}+C}
[/mm]
Es ist mir schon bewusst,dass C ist nicht klar definiert, sondern einfach die Konstante die noch dazu kommt (deshalb ist die Schreibweise auch nicht eindeutig), trotzdem bin ich jetzt etwas unsicher...
Wie kommt man plötzlich auf [mm] \bruch{1}{2}C? [/mm] Ist das nur Resultat Kosmetik? und ich gehe recht in der Annahme, dass c sich aus den beiden Konstanten zusammen setzt, die auf beiden Seiten bei der Integration (unbest. Integral) dazu kommen?
vielen lieben Dank Mel
p.s. Hat jedmand vielleicht auch gleich noch einen Tipp, wo ich eine gute Erklärung zum Prinzip der Trennung der Variablen finden kann? Habe bei Wikipedia geschaut, aber das ist ziemlich kompliziert.. (unnötig kompliziert, oder nicht?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Meli!
> Wie kommt man plötzlich auf [mm]\bruch{1}{2}C?[/mm] Ist das nur
> Resultat Kosmetik?
Das ist in der Tat etwas Kosmetik, um dann die genannte (vereinfachte) Lösung zu erhalten.
> und ich gehe recht in der Annahme, dass
> c sich aus den beiden Konstanten zusammen setzt, die auf
> beiden Seiten bei der Integration (unbest. Integral) dazu
> kommen?
Das ist ja stetes der Fall, wenn nur auf eine Seite die Imntegrationskonstante $+C_$ hingeschrieben wird. Streng genommen entsteht auf beiden Seiten der Gleichung jeweils eine Integrationskonstante [mm] $c_1$ [/mm] bzw. [mm] $C_2$ [/mm] , welche dann gleich stillschweigend zu $C_$ zusammengefasst werden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Meli90 |
Vielen Dank!
Habe mir die ganze sache schon fast so gedacht, war nur etwas erstaunt, das die "Kosmetik" so systematisch durchgezogen wurde.. Da bin ich doch unsicher geworden. =)
Einen schönen Abend noch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mo 26.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]y'=-xy^{2}[/mm]
>
> Ich versuche mir gerade die Methode der Trennung der
> Variablen anzueignen und habe eine kleine Frage:
> Bei diesem Beispiel ist mir so weit das meisste klar:
> [mm]y'=-xy^{2} \gdw \bruch{dy}{dx}=-xy^{2}[/mm]
> Trennung der
> Variablen:
> [mm]\bruch{dy}{-y^{2}}=x[/mm] dx
> Integration
> [mm]\int{\bruch{dy}{-y^{2}}}=\int{x dx}[/mm]
> Dann würde ich auf:
> y= [mm]\bruch{2}{x^{2}}+C[/mm] kommen
> In der Lösung geht es folgendermassen weiter:
> [mm]y^{-1}=\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}C[/mm]
Der Faktor 1/2 ist zwar Kosmetik, aber der Unterschied zwischen den beiden letzten Zeilen nicht.
Du integrierst doch links: [mm]\int{\bruch{dy}{-y^{2}}}[/mm], und da ist das Integral [mm]\bruch{1}{y}[/mm], ebenso rechts: [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm]. An dieser Stelle, beim Integrieren, musst du die Konstante addieren. Dann nimmst du auf beiden Seiten den Kehrwert.
Du hast erst den Kehrwert genommen, und dann die Konstante addiert; das darfst du nicht tun.
Kurz gesagt: du darfst immer irgendeinen konstanten Term durch eine anderen konstanten Term ersetzen, zum Beispiel: C durch 2C, C durch -C.
> p.s. Hat jedmand vielleicht auch gleich noch einen Tipp, wo
> ich eine gute Erklärung zum Prinzip der Trennung der
> Variablen finden kann? Habe bei Wikipedia geschaut, aber
> das ist ziemlich kompliziert.. (unnötig kompliziert, oder
> nicht?)
Die Grundidee ist diese: Wenn du eine DGL der Form
[mm]y' = g(x)*h(y) [/mm]
hast, und h(y) nirgendwo 0 wird, dann kannst du durch h(y) teilen:
[mm] \bruch{y'}{h(y)} = g(x) [/mm].
Sei G die Stammfunktion von g, und H die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{h}[/mm]. Dann ist G'(x)=g(x), und
[mm] \bruch{d}{dx} H(y(x)) = H'(y(x)) * y'(x) = \bruch{y'(x)}{h(y(x))} [/mm].
Also ist
[mm] \bruch{d}{dx} H(y(x)) = \bruch{d}{dx} G(x) [/mm]
Durch Integration nach x ergibt sich: [mm] H(y(x)) = G(x) + C [/mm], oder
[mm] y(x) = H^{-1}(G(x) + C) [/mm]
(Siehst du, dass es wichtig ist, dass du das C vorher und nicht nachher addierst?)
Das Problem bei dieser einfachen Erklärung ist zweierlei: man muss noch nachweisen, dass dieses Ergebnis die DGL wirklich löst, und zweitens müssen alle diese Umformungen erlaubt sein. Gerade die Umkehrung [mm]H^{-1}[/mm] könnte ein Problem darstellen. Deswegen ist der Beweis etwas länger:
- Nachweis, dass h(y) nicht 0 wird (damit ich dadurch teilen kann)
- Nachweis, dass H(y) streng monoton ist (damit es die Umkehrfunktion gibt)
- Nachweis, dass das so berechnete y(x) eine Lösung der DGL ist.
Viele Grüße
Rainer
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