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| Aufgabe | Kohlendioxid entsteht bei der Oxidation kohlenstoffhaltiger Substanzen,z. B bei der Verbrennung von Kohle Erdöl und Benzin. Die folgenden Fragen sollen einen Ausblick auf mögliche Entwicklungen und Folgen geben. Bei den verwendeten Funktionen handelt es sich manchmal um grobe Vereinfachungen. es wurde jedoch darauf geachtet, dass sich realistische Daten ergeben.
a) Die Emission E von CO2 (gemessen in Tonnen) nimmt in den letzten Jahrzehnten stetig zu. Trägt man den Logarithmus von E gegen die Zeit t (gemessen in Jahren seit 1980) ab. Ergibt sich eine Gerade siehe Abbildung. (gibt es eine Möglichkeit die Abbildung hier einzuscannen??)
x Achse t ab 1980
y Achse lnE von 1,7 bis 2,2 (Schnittpunkt mit y Achse bei ca. 1,72)
es ist eine lineare Funktion.
- wie lautet die Geradengleichung?
(Ergebnis der Gleichung: lnE= 0,216(t+10)+22,1
- berechnen sie die CO2 Emission über die Jahre 2000 2020 2100?
-wann hat sich die Emission gegenüber 1980 verdoppelt bzw. verdreifacht?
-um wie viel Prozent nimmt die CO2 Emission im laufe eines Jahres zu, hängt das Ergebnis vom Jahr ab?
b) Die Erhöhung des Co2 Anteils in der Atmosphäre führt zu einer Erhöhung der Lufttemperatur. Modellrechnungen sagen für Co2 Konzentrationen über 335 ppm eine Temperaturerhöhung T (in Grad Celsius)in Abhängigkeit von der Co2 Konzentration x (in ppm) voraus, die durch folgende Funktion beschrieben werden:
T(x)=13*(1- e^(-0,0005x+0,1675) mit x E [335;1000]
-Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion und bestimmen Sie seine Asymptote.
-Bei welcher Co2 Konzentration nimmt die Temperaturerhöhung um 0,5 °C pro 100 ppm zu?
c)Die nebenstehende Grafik zeigt die auf dem Schauinsland gemessene Co2 Konzentration der letzten Jahre. Sie zeigt einen linearen Zuwachs gemäß der Gleichung
x(t)= (10/7)t+ 338 (t in Jahren seit 1980)
-Geben Sie mit Hilfe von teil b die Temperaturerhöhung als Funktion der Zeit t an. Berechnen Sie damit die Temperaturerhöhung der Atmosphäre bis zum Jahr 2100.
In welchem Zeitraum erhöht sich die Temperatur nach dieser Prognose um 3 °C?
-Untersuchen Sie den Gültigkeitsbereich des in b angegebenen Modells anhand dieser Funktion.
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Also hier kommen meine Fragen:
zu a)
- bei 2000 ist t=20 , 2020 t=40 , 2100 t=120
t werte in Funktion einsetzen, dann hab ich als ergebnis: 2000= 28,58 ; 202=32,9; 2100=50,18
-verdoppelt seit 1980: 1980 hat den t wert 24,26 *2= 48,52
dann setzt ich die 48,52 für lnE ein. Ergebnis: 112,31 also im Jahr 2092
-verdreifacht seit 1980: 72,78 für lnE einsetzen, dann ist t=224,63. Also im Jahr 2204.
-prozentuale Zunahme:
kann ich hier etwas mit der Ableitung anfangen?? die Ableitung ist 0,216 und ist somit die jährliche Zunahme. sie ist also unabhängig vom Jahr?
Zu b)
die Asymptote ist 13, da x geht gegen unendlich, dann ist der Term mit e=0
für die Temperaturerhöhung benötigt man die Ableitung. In die 1. Ableitung 0,5° einsetzen für T(x) dann kommt raus t=6,16
zu c)
hier komm ich überhaupt nicht weiter, hab keinen ansatz. Die Abbildung fehlt leider, ich weiß nicht, ob ihr auch ohne diese Abbildung etwas mit dieser Aufgabe anfangen könnt. Könnte sie sonst auch per mail schicken.
Danke für eure Hilfe ist wirklich sehr wichtig für meine Note!!
Lieber Gruß nellychen
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Hallo Lara,
das ist ja ein sehr umfangreiches Problem... ich versuche mal ein paar Hinweise zu geben.
a) Du hast [mm] ln E(t) [/mm] in der Zeichnung, die Fragen beziehen sich aber auf E(t), d.h. nachdem du die Geradengleichung ermittelt hast, musst du für die weiteren Rechnungen die Gleichung nach E(t) auflösen.
Da habe ich aber mein erstes Problem - du schreibst, die Gerade schneidet die y-Achse bei 1,7, aber deine Geradengleichung ergibt einen völlig anderen Schnittpunkt. Das passt nicht zusammen, kannst du aber sicher selbst klären. Du bekommst also [mm] ln E(t) = mt + b [/mm]. Daraus ergibt sich [mm] E(t) = e^{mt + b} = e^{b}*e^{mt} [/mm].
Das ist dann also deine Emissionsfunktion.
Dann setzt du eben ein: E(20), E(40) usw. und für die Frage nach der Verdoppelung/Verdreifachung setzt du eben an [mm] E(t) = 2* E(0) [/mm] bzw. [mm] E(t) = 3* E(0) [/mm]
Für die prozentuale Veränderung betrachtest du am einfachsten [mm] \bruch{E(t+1)}{E(t)}, [/mm] da kürzt sich dann vieles raus:
[mm]\bruch{E(t+1)}{E(t)} = \bruch{ e^{b}*e^{m(t+1)}}{e^{b}*e^{mt}}=e^{m}[/mm]
Das gibt dir das Verhältnis an. Wenn da z.B. 1,24 rauskommt, heißt das, dass es jedes Jahr eine prozentuale Zunahme um 24% gibt.
b) Die Frage nach der Asymptote verstehe ich nicht wirklich, da die Funktion nur auf dem Intervall [335;1000] definiert wird. Aber vermutlich ist damit tatsächlich das gemeint, was du gemacht hast, dass für x [mm] \to \infty [/mm] gilt, dass T(x) [mm] \to [/mm] 13.
Für das ganze Verständnis von b) ist wichtig, dass man versteht, dass T(x) bereits die Temperaturerhöhung angibt, keine absolute Temperatur. Wenn sich also diese Temperaturerhöhung um 0,5°C ändern soll, muss an der gesuchten Stelle x die Ableitung T'(x) = 0,5°C sein. Dein Ergebnis erscheint aber nicht plausibel, da T(x) nur für Werte zwischen 335 und 1000 definiert wird.
c) Der erste Teil ist einfach - es ist eine doppelte Verkettung, denn die Temperaturänderung T(x) hängt von der Konzentration x ab, die wiederum von der Zeit abhängt x(t). Also brauchst du T(x(t)) und damit hängt die Temperaturänderung von der Zeit ab. Also einfach x(t) für das x einsetzen und vereinfachen.
Für die Berechnung der Temperaturerhöhung im Jahr 2100 musst du dann wieder nur T(120) berechnen, aber jetzt von deinem neuen T(t), das nur noch von der Zeit abhängt.
Dann soll die Temperaturerhöhung 3°C betragen, d.h. T(t) = 3°C setzen und das nach t auflösen.
Untersuchung des Gültigkeitsbereichs: das Modell gilt ja nur für Konzentrationen zwischen 335 und 1000. Also darf x(t) sich nur zwischen diesen beiden Werten bewegen. Die untere Grenze ist kein Problem, es gibt nur eine zeitliche Obergrenze, weil dann ja gelten muss:
[mm]\bruch{10}{7}t +338 \le 1000
\Rightarrow t \le 463,4[/mm].
Das Modell kann somit nur für die nächsten ca. 460 Jahre genutzt werden, wenn die Messwerte sich tatsächlich so verhalten wie in c) vorgegeben.
Vielleicht werden jetzt ein paar Dinge klarer für dich, bestimmt bleiben noch ein paar Fragen offen - dafür sind wir ja hier  .
Gruß,
Martin
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zu der aufgabe a) ja ok stimmt, dass ich die gleichung umformen muss, aber wie komme ich von lnE(t)=mt+b auf E(t)=e^(mt+b)? wie forme ich bei dieser funktion um?
danke!!
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> zu der aufgabe a) ja ok stimmt, dass ich die gleichung
> umformen muss, aber wie komme ich von lnE(t)=mt+b auf
> E(t)=e^(mt+b)? wie forme ich bei dieser funktion um?
Hallo,
an dieser Stelle wäre es segensreich, würdest Du Dich daran erinnern, daß der Logarithmus die Umkehrung der e-Funktion ist.
Es ist nämlich e^(ln a)=a, und es ist [mm] ln(e^b)=b.
[/mm]
Mach also bei
> lnE(t)=mt+b
auf beiden Seiten "e hoch".
Gruß v. Angela
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zur aufgabe c) warum muss ich hier die untergrenze nicht beachten??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 01.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du darfst sie beachten, aber der Wert bei t=0 liegt ja im Def. bereich, und dann steigts nur noch,
Gruss leduart
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bei der Aufgabe b hab ich probleme mit dem logarithmus zu rechene. ich hab jetzt mal ein ergebnis:
könnte das bitte jemand mal nachprüfen. ich hab eben als ableitungsfunktion: 0,0065e^(-0,0005x+0,1675)
diese hab ich dann 0,5 gesetzt. aber komm auf ein negatives ergebnis: -8350. es wäre sehr nett wenn mir jemand den rechenweg zeigen könnte.
dankeschön, nellychen
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> bei der Aufgabe b hab ich probleme mit dem logarithmus zu
> rechene. ich hab jetzt mal ein ergebnis:
> könnte das bitte jemand mal nachprüfen. ich hab eben als
> ableitungsfunktion: 0,0065e^(-0,0005x+0,1675)
Hallo,
die Ableitung ist nicht ganz richtig: ihr Vorzeichen muß negativ sein.
> diese hab ich dann 0,5 gesetzt.
Hm. Muß man sie nicht lt. Aufgabentext eher [mm] =\bruch{0.5}{100} [/mm] setzen?
Gruß v. Angela
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ich bin der meinung, dass meine ableitung so stimmt. wie soll ich hier auf ein negatives vorzeichen kommen? hab es nochmal überprüft mit positivem vorzeichen und dies dann 0,5/100 gesetzt hab jetzt als ergebnis 859,73 ist dieses ergebnis richtig?
liebe grüße
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> ich bin der meinung, dass meine ableitung so stimmt. wie
> soll ich hier auf ein negatives vorzeichen kommen?
Hallo,
entschuldige, ich hatte das eine Minuszeichen in Deiner Funktion übersehen.
(Wenn Du übrigens Exponenten in geschweifte Klammern setzt, erscheinen sie auch als Exponenten, guck: T(x)=13*(1- [mm] e^{-0,0005x+0,1675}))
[/mm]
> nochmal überprüft mit positivem vorzeichen und dies dann
> 0,5/100 gesetzt hab jetzt als ergebnis 859,73 ist dieses
> ergebnis richtig?
Ich bin gerade ohne Taschenrechner, habe es aber geplottet, und da sieht es richtig aus.
Gruß v. Angela
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hey ich hab hier mal meine ganzen ergebnisse aufgelistet, es würde mir sehr helfen wenn sie jemand von euch kontrollieren könnte.
zu a)
Erstellen einer Exponentialfunktion:
lnE = mt+b
lnE = 0,216t+b
E(t)=e^(lnE(t))
[mm] E(t)=e^0,216(t*10)*e^22,1
[/mm]
Emission der Jahre: in Tonnen
2000: 2583070698000
2020: 194217542500000
2100: 6207219482100000000000
Emision verdoppelt:
68709078920 Jahren
Emission verdreifacht
103063618400
- prozentuale Zunahme um 24%
eine Frage dazu, sie ist also unabhängi vom Jahr oder?
b)
- Asymptote ist 13
- Änderung der Temperaturerhöhung bei Konzentration 859,73
c) -Temperaturerhöhung um 1.086 °C
- Ehöhung um 3°C nach 365 Jahren
- Modell geeignet für die nächsten 463,3 Jahre. Welchen Definitionsbereich muss ich hier dann aber angeben?
Danke für die Mühe, nellychen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 So 03.05.2009 | | Autor: | nellychen |
Kann mir niemand helfen??, Bitte, bitte, bitte ist sehr sehr dringend!
Vielen Dankd
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Hallo nellychen,
> hey ich hab hier mal meine ganzen ergebnisse aufgelistet,
> es würde mir sehr helfen wenn sie jemand von euch
> kontrollieren könnte.
>
> zu a)
>
> Erstellen einer Exponentialfunktion:
>
> lnE = mt+b
> lnE = 0,216t+b
>
> E(t)=e^(lnE(t))
> [mm]E(t)=e^0,216(t*10)*e^22,1[/mm]
[mm]E\left(t\right)=e^{0,216*10}*e^{22,1}*e^{0,216*t}[/mm]
>
> Emission der Jahre: in Tonnen
>
> 2000: 2583070698000
> 2020: 194217542500000
> 2100: 6207219482100000000000
Wo sind die durch "0" markierten Ziffern ?
>
> Emision verdoppelt:
>
> 68709078920 Jahren
>
> Emission verdreifacht
>
> 103063618400
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> - prozentuale Zunahme um 24%
> eine Frage dazu, sie ist also unabhängi vom Jahr oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
> - Asymptote ist 13
> - Änderung der Temperaturerhöhung bei Konzentration
> 859,73
Hier habe ich eine andere Konzentration erhalten.
>
> c) -Temperaturerhöhung um 1.086 °C
Deute ich den Punkt als Komma, dann ist das die Temperatur im Jahre 2100.
Gesucht ist hier die Temperaturerhöhung:
[mm]\Delta T = T\left( \ x\left(120\right) \ \right) -T\left( \ x\left(0\right) \ \right)[/mm]
> - Ehöhung um 3°C nach 365 Jahren
Auch hier habe ich einen andereren Wert heraus.
> - Modell geeignet für die nächsten 463,3 Jahre. Welchen
> Definitionsbereich muss ich hier dann aber angeben?
Hier ist dann [mm]t \in \left[0, \ 463 \right][/mm]
>
> Danke für die Mühe, nellychen
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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zur Aufgabe c. das Modell ist nach der lösun gültig für 463 Jahre. wie schreib ich das nun mathematisch als Gültikgeitsbereich hin?
DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Di 05.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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