Trefferwahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | 6. Drei Kinder A, B und C versuchen, einen Ball in einen Korb zu werfen. Die Trefferwahrscheinlichkeit
ist bei jedem Wurf
p = 2/5.
Der Reihe nach werfen A, B, C, A, B, C, A, B, C, A, .......
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Kinder in ihrem ersten Versuch den
Korb treffen?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines drei Kinder in seinem ersten
Versuch den Korb trifft?
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach je drei Versuchen noch keines der Kinder
den Korb getroffen hat?
d) Nach wie vielen Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Treffer erzielt
worden ist, grösser 0.999? |
Aufgabe a:
Also ich es gibt ja 2 Möglichkeiten:
für A: trifft oder trifft nicht. Wahrscheinlichkeiten das A trifft = 2/5, somit, dass er nicht trifft = 3/5
Dasselbe gilt für B und C
Wahrscheinlichkeiten sind also folgende:
P(A) = 2/5
P(B) = 2/5
P(C) = 2/5
Das sind ja alles unabhaengige Ereignisse, also habe ich P(A) * P(B) * P(C) gerechnet, ergibt:
[mm] (2/5)^3 [/mm] = 0.064 = p
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle im ersten Wurf treffen beträgt also 0.064. Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mi 24.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Marius,
> Die Wahrscheinlichkeit, dass alle im ersten Wurf treffen
> beträgt also 0.064. Ist das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok vielen Dank.
Und bei b) ahbe ich 0.144 als Wahrscheinlichkeit bekommen, weil ja mindestens einer treffen soll , treffen die anderen beiden nicht, also habe ich gerechnet:
P(E) = (2/5)*(3/5)*(3/5) = 0.144
c)
P(E) = P(A)*P(B)*P(C)
P(A) = [mm] (3/5)^3
[/mm]
P(B) = [mm] (3/5)^3
[/mm]
P(C) = [mm] (3/5)^3
[/mm]
Somit ist die Wahrscheinlichkeit: [mm] (0.6)^9 [/mm] = 0.01
Und noch d)
Hier habe ich n < 4.50757552
Die Kinder müssen also mindestens 4.5 also gerundet 5mal werfen um mit einer Wahrscheinlichkeit p>0.999 1mal getroffen zu haben.
Stimmen diese Antworten?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 24.06.2009 | | Autor: | He_noch |
Hi!
Deine b) ist so nicht richtig.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestestens einer trifft, ist das Gegenereignis davon, dass keines der Kinder im ersten Wurf trifft.
Versuch die Wahrscheinlichkeit mal über dieses Gegenereignis auszurechnen.
(Kontrolllösung: 0.784)
Die c) sollte so stimmen.
Die d) stimmt nach meiner Rechnung nicht. Wie kommst du auf das Ergebnis? Versuch wieder über das Gegenereignis zu rechnen.
Gruß He_noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok b) hab ich begriffen bei d) bin ich Folgendermassen vorgegangen:
Also p>0.999 Die Wahrscheinlichkeit muss grösser sein als 0.999.
Gut dann habe ich dort mit dem Gegenereignis gerechnet:
Das Gegenereignis ist die Wahrscheinlichkeit, dass n Versuchen keiner getroffen hat.
P(GE) = Gegenereignis
P(E) > 0.999
P(GE)= [mm] (3/5)^n [/mm] * [mm] (3/5)^n [/mm] * [mm] (3/5)^n
[/mm]
P(E) = 1 - P(GE)
0.999 < 1 - [mm] (((3/5)^n)^3)
[/mm]
0.999 < 1 - ((3/5)^3n)
-0.001 < -((3/5)^3n) | *-1
0.001 > (3/5)^3n |ln
ln(0.001) > ln(3/5)*3n |:ln(3/5)
ln(0.001)/ln(3/5) < 3n
13.52272666 < 3n |:3
4.507575552 > n
So bin ich auf die Anzahl Würfe gekommen, was ist daran falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mi 24.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> 4.507575552 > n
Das *muss* dich stutzig machen! Es muessen grosse Werte von $n_$ herauskommen, nicht kleine.
>
>
> So bin ich auf die Anzahl Würfe gekommen, was ist daran
> falsch?
>
>
Dein Ansatz ist falsch:
$$P(E)>0.999 [mm] \iff 1-P(\overline{E})>0.999\iff P(\overline{E})<0.001\,.$$
[/mm]
Ferner ist [mm] $P(\overline{E})=(3/5)^n$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok aber warum ist das Gegenereignis nur [mm] (3/5)^n
[/mm]
Es werfen ja verschiedene Personen und dass sind ja unabhaengige Ereignisse, also muss für das Gegenereignis jeder nicht getroffen haben, also alle 3 Personen dürfen nicht getroffen haben, daher
P(A)*P(B)*P(C)
= [mm] (3/5)^n [/mm] * [mm] (3/5)^n *(3/5)^n
[/mm]
Warum ist das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mi 24.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ok aber warum ist das Gegenereignis nur [mm](3/5)^n[/mm]
Nicht das Gegenereignis ist [mm] (3/5)^n, [/mm] sondern die Wsk dafuer.
>
> Es werfen ja verschiedene Personen und dass sind ja
> unabhaengige Ereignisse, also muss für das Gegenereignis
> jeder nicht getroffen haben, also alle 3 Personen dürfen
> nicht getroffen haben, daher
>
Die Aufgabe lauetet:
Nach wie vielen Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Treffer erzielt worden ist, grösser 0.999?
Ich lese das so, dass irgendwelche Personen werfen, d.h., man schaut solange zu, bis der erste Treffer auftritt. Ob das bei Person A, B oder C ist, ist wurscht.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Hmm, da bin ich mir nicht so sicher weil ja in der üBERschrift der Aufgabe steht, dass alle werfen. Aber wäre meine Überlegung sonst richtig wenn, jetzt alle Personen werfen würden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mi 24.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Aber wäre
> meine Überlegung sonst richtig wenn, jetzt alle Personen
> werfen würden?
Meinst du die folgende Modifikation der Aufgabenstellung?
Nach wie vielen Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder der Werfer mindestens einen Treffer erzielt hat, grösser 0.999?
Weiss ich nicht, ob du hierfuer die Loesung gefunden hast. Ist schon spaet.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
vg Luis
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