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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:45 So 17.12.2006 | | Autor: | NatiSt |
| Aufgabe | Aufgabe
Fur eine naturliche Zahl n wird als n-te Trapezzahl T(n) die Anzahl der Punkte im n-ten
Punktmuster der nachfolgenden Punktmusterfolge bezeichnet:
.
..
. ...
.. ...
. .. ...
n=1 n=2 n=3 ...
c) Zeigen Sie an einem allgemeinen Punktmuster, dass T(n) = T(n-1) + 3(n-1) +1 gilt.
d) Zeigen Sie durch vollstandige Induktion, dass T(n-1) + 3n 2 = 0,5. [mm] (3n^2 [/mm] - n) fur alle
naturlichen Zahlen n gilt.
e) Zeigen Sie fur alle n ? IN: T(n) kongruent n (mod 3) |
Hat jemand tipps wie man das macht?
Wäre sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 17.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
für Deine Werte T(n) gilt folgender Zusammenhang:
Die gesamte Anzahl der Punkte besteht aus 2n-1 Reihen. Die ersten n Reihen vergrößern sich von 1 bis zu n Punkten. Danach bleiben also noch n-1 Reihen mit jeweils n Punkten. In Formeln lautet das
[mm] T(n)=\summe_{i=1}^{n}i+(n-1)n
[/mm]
Die Summe ausgerechnet ergibt [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] also gilt für T(n)
[mm] T(n)=\bruch{n}{2}(3n-1) [/mm] (das ist Aufgabe d )
Aufgabe e)
[mm] T(n)-n=\br{3}{2}n(n-1) [/mm] also ist T(n) kongruent n mod 3
Aufgabe c kann man wahrscheinlich mit der gewonnenen Formel für T(n) nachrechnen.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 17.12.2006 | | Autor: | NatiSt |
| Aufgabe |
Aufgabe e)
$ [mm] T(n)-n=\br{3}{2}n(n-1) [/mm] $ also ist T(n) kongruent n mod 3
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kannst du das erweitert erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 17.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
T(n) ist kongruent zu n mod 3 wenn
T(n)-n durch 3 teilbar ist, was der Fall ist, weil entweder n oder n-1 durch 2 teilbar ist.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 17.12.2006 | | Autor: | NatiSt |
| Aufgabe | T(n) ist kongruent zu n mod 3 wenn
T(n)-n durch 3 teilbar ist, was der Fall ist, weil entweder n oder n-1 durch 2 teilbar ist.
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T(n) ist kongruent zu n mod 3 wenn
T(n)-n durch 3 teilbar ist, "das is aber t mir klar,aber wie beweise ich dass das der Fall ist, " .?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 So 17.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] T(n)-n=\br{3}{2}n(n-1) [/mm] und das ist durch 3 teilbar, wenn [mm] \br{1}{2}n(n-1) [/mm] ganzzahlig ist, was der Fall ist, wie vorher ausgeführt.
mfg ullim
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