Trapezformel < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:03 Mi 10.09.2014 | | Autor: | mathgenius |
| Aufgabe | Zur neuen Saison möchte der Platzwart das Spielfeld besonders schön herrichten.
Er markiert hierfür die in der Abbildung gezeigten Spielfeldelemente
neu: den Elfmeterpunkt (Kreuz), die Strafraumgrenze (waagrechte Linie) und
das Kreisbogenstück vor dem Strafraum. Die hierfür nötigen Maße nennt
ihm der DFB: Der Elfmeterpunkt ist 11 m von der Torlinie entfernt (dazu
hätten wir keinen DFB gebraucht), die Strafraumgrenze 16 m, und das Bogenstück
ist Teil eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Elfmeterpunkt und
dessen Radius 9,15 m ist.
Bestimmen Sie mithilfe der Trapezformel näherungsweise die Größe der grau schraffierten Fläche mit einer Genauigkeit von [mm] \varepsilon=0,5m^2. [/mm] |
1. Nach einer Skizze habe ich zunächst ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb des Kreises ausgemacht mit der Seite
[mm] p=\wurzel{9,15^2-5^2}=7,663
[/mm]
Damit sind die Nullstellen des Kreisbogenstücks auch bestimmt:
[mm] p_1=7,663 [/mm] und [mm] p_2=-7,663
[/mm]
2. Nun muss die Fläche mit der Trapezformel berechnet werden. Dazu kann die Kreisgleichung verwendet werden:
[mm] y=\wurzel{r^2-x^2}
[/mm]
Da jedoch nur die Fläche des oberen Kreisstücks relevant ist, muss hier eine entsprechende Flächensubtraktion vorgenommen werden. Diese kann mit der Geradengleichung y=5 durchgeführt werden. Dadurch ändert sich das Integral in folgendes:
[mm] \integral_{7,663}^{-7,663}{\wurzel{9,15^2-x^2}-5 dx}=44,79
[/mm]
Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das mit der Trapezformel machen soll. Grafisch habe ich mir vorgestellt, dass lauter Sehnentrapze im Kreisstück nebeneinandergereiht werden müssen. Allerdings weiß ich nicht, wie viele Trapeze n notwendig sind, um eine Genauigkeit von 0,5 zu erreichen. Soll ich hier raten?
Wenn die Anzahl vorhanden wäre, könnte ich auch eine Wertetabelle mit den entsprechenden Werten berechnen. Hier habe ich für n=4 genommen. Die x und y Werte für die EINE HÄLFTE des Kreisstücks lauten damit:
n | x | f(x)
0 | 0,0000 | 4,15
1 | 1,9157 | 3,9471
2 | 3,8315 | 3,3091
3 | 5,7472 | 2,1197
4 | 7,6630 | 0
Die Fläche eines Sehnentrapezes berechnet man laut Wikipedia mit der Formel [mm] T(f)=Breite*\bruch{f(a)}{f(b)}
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht, wie man hier auf n kommen soll. Ich weiß auch nicht, wie ich eine Genauigkeit von 0,5 berechnen kann. Nehme ich den oben berechneten Wert, muss die Aufgabe dann richtig sein, wenn ein Wert von 44,29 herauskommt. Irgendwie finde ich das verwirrend. Kann mir jemand freundlicherweise helfen?
Die Aufgabe soll benotet werden. Ich bitte deswegen nur um richtungsweisende Unterstützung. DANKE!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Do 11.09.2014 | | Autor: | meili |
Hallo mathgenius,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zur neuen Saison möchte der Platzwart das Spielfeld
> besonders schön herrichten.
> Er markiert hierfür die in der Abbildung gezeigten
> Spielfeldelemente
> neu: den Elfmeterpunkt (Kreuz), die Strafraumgrenze
> (waagrechte Linie) und
> das Kreisbogenstück vor dem Strafraum. Die hierfür
> nötigen Maße nennt
> ihm der DFB: Der Elfmeterpunkt ist 11 m von der Torlinie
> entfernt (dazu
> hätten wir keinen DFB gebraucht), die Strafraumgrenze 16
> m, und das Bogenstück
> ist Teil eines Kreises, dessen Mittelpunkt der
> Elfmeterpunkt und
> dessen Radius 9,15 m ist.
> Bestimmen Sie mithilfe der Trapezformel näherungsweise
> die Größe der grau schraffierten Fläche mit einer
> Genauigkeit von [mm]\varepsilon=0,5m^2.[/mm]
> 1. Nach einer Skizze habe ich zunächst ein rechtwinkliges
> Dreieck innerhalb des Kreises ausgemacht mit der Seite
>
> [mm]p=\wurzel{9,15^2-5^2}=7,663[/mm]
>
> Damit sind die Nullstellen des Kreisbogenstücks auch
> bestimmt:
> [mm]p_1=7,663[/mm] und [mm]p_2=-7,663[/mm]
>
> 2. Nun muss die Fläche mit der Trapezformel berechnet
> werden. Dazu kann die Kreisgleichung verwendet werden:
>
> [mm]y=\wurzel{r^2-x^2}[/mm]
>
> Da jedoch nur die Fläche des oberen Kreisstücks relevant
> ist, muss hier eine entsprechende Flächensubtraktion
> vorgenommen werden. Diese kann mit der Geradengleichung y=5
> durchgeführt werden. Dadurch ändert sich das Integral in
> folgendes:
>
> [mm]\integral_{7,663}^{-7,663}{\wurzel{9,15^2-x^2}-5 dx}=44,79[/mm]
Bis hier ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das mit der
> Trapezformel machen soll. Grafisch habe ich mir
> vorgestellt, dass lauter Sehnentrapze im Kreisstück
> nebeneinandergereiht werden müssen. Allerdings weiß ich
Ja, so sieht das aus.
> nicht, wie viele Trapeze n notwendig sind, um eine
> Genauigkeit von 0,5 zu erreichen. Soll ich hier raten?
Das n sollst du bestimmen.
Wahrscheinlich über eine Fehlerabschätzung für die zusammengesetzte
Trapezformel.
Wenn in der Fehlerabschätzung nur h, und nicht n, vorkommt, kann man
verwenden $h = [mm] \bruch{b-a}{n}$.
[/mm]
>
> Wenn die Anzahl vorhanden wäre, könnte ich auch eine
> Wertetabelle mit den entsprechenden Werten berechnen. Hier
> habe ich für n=4 genommen. Die x und y Werte für die EINE
> HÄLFTE des Kreisstücks lauten damit:
>
> n | x | f(x)
> 0 | 0,0000 | 4,15
> 1 | 1,9157 | 3,9471
> 2 | 3,8315 | 3,3091
> 3 | 5,7472 | 2,1197
> 4 | 7,6630 | 0
>
>
> Die Fläche eines Sehnentrapezes berechnet man laut
> Wikipedia mit der Formel [mm]T(f)=Breite*\bruch{f(a)}{f(b)}[/mm]
Ist das ein Tippfehler?
Die Fläche eines Sehnentrapezes berechnet man laut
Wikipedia mit der Formel [mm]T(f)=Breite*\bruch{f(a)+f(b)}{2}[/mm]
>
> Allerdings weiß ich nicht, wie man hier auf n kommen soll.
> Ich weiß auch nicht, wie ich eine Genauigkeit von 0,5
> berechnen kann. Nehme ich den oben berechneten Wert, muss
> die Aufgabe dann richtig sein, wenn ein Wert von 44,29
> herauskommt. Irgendwie finde ich das verwirrend. Kann mir
> jemand freundlicherweise helfen?
>
> Die Aufgabe soll benotet werden. Ich bitte deswegen nur um
> richtungsweisende Unterstützung. DANKE!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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Danke meili!
> Ist das ein Tippfehler?
> Die Fläche eines Sehnentrapezes berechnet man laut
> Wikipedia mit der Formel [mm]T(f)=Breite*\bruch{f(a)+f(b)}{2}[/mm]
Ja stimmt, habe mich vertippt.
Ich habe das jetzt ausprobiert mit n=3, n=4 und n=5:
n=3 --> 43,18
n=4 --> 43,87
n=5 --> 44,20
Damit scheint die Aufgabe nicht erfüllt zu sein, denn eine Abweichung von genau 0,5 trifft nicht ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Sa 13.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mathgenius und !
> [mm]T(f)=Breite*\bruch{f(a)+f(b)}{2}[/mm]
Anstatt "Breite" würde ich [mm] $(b-a)\$ [/mm] schreiben und Klammern setzen.
> Ich habe das jetzt ausprobiert mit n=3, n=4 und n=5:
>
> n=3 --> 43,18
> n=4 --> 43,87
> n=5 --> 44,20
>
> Damit scheint die Aufgabe nicht erfüllt zu sein, denn eine
> Abweichung von genau 0,5 trifft nicht ein.
Das Prinzip ist richtig. Im Grunde ist nach einem [mm] n\in\IN [/mm] gesucht mit
[mm] \left|\left(\integral_{7,663}^{-7,663}{\wurzel{9,15^2-x^2}-5 dx}\right)-T_n(f)\right|\le\frac{1}{2}=\epsilon.
[/mm]
Für [mm] $n=5\$ [/mm] ist das "noch" nicht gegeben und "exakt" muss es
natürlich auch nicht sein, sondern "Kleiner-Gleich" Epsilon. 
Übrigens: Falls du noch eine gute Seite brauchst und nicht mehr
weiter weißt, dann empfehle ich dir auf jeden Fall die Herleitung,
denn im Grunde betrachten wir die numerischen Integration mit
Newton-Cotes-Formeln und für [mm] $n=1\$ [/mm] erhalten wir die obige Trapezregel.
Für [mm] $n=2\$ [/mm] die Simpson-Regel (auch Keplersche Fassregel), ...
Falls das auch nicht reicht, kannst du nach deiner Rechnung auf
die summierten Newton-Cotes-Formeln übergehen oder dich kurz mit
"besseren" Methoden, z.B. Gauß-Quadraturen, beschäftigen.
Viel Spaß!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Mo 22.09.2014 | | Autor: | mathgenius |
Dank euch beiden, konnte ich die Aufgabe lösen!
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| Aufgabe | | Wenn die Anzahl vorhanden wäre, könnte ich auch eine Wertetabelle mit den entsprechenden Werten berechnen. Hier habe ich für n=4 genommen. Die x und y Werte für die EINE HÄLFTE des Kreisstücks lauten damit: |
Hallo,
irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
Bis zur Flächensubtraktion komme ich mit.
Um nun die Trapezformel anwenden zu können muss ich doch den Intervall -7,633 bis 7,633 in zB. 4 Teilsegmente teilen.
Also [Schrittweite 3,8315]
X0 -7,663 Y0=9,3165
X1 -3,8315 Y1=3,3091
X2 0 Y2=4,15
X3 3,8315 Y3= 3,3091
X4 7,663 Y4=9,3165
Dann werden diese Werte in die vorher ermittelte Gleichung [mm] y=sqrt(r^2-x^2)-5 [/mm] eingesetzt.
Daraus erhalte ich meine f(x) Werte.
Nun zur Trapezformel, diese lautet doch wie folgt:
T(f)= "Schrittweite" * f(X0)/2 + f(X1) + f(X2) + ... + f(X4)/2
dann komme ich aber auf einen Wert von 76,95???
Ich stehe echt auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 14.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo Diamondx2002,
> Wenn die Anzahl vorhanden wäre, könnte ich auch eine
> Wertetabelle mit den entsprechenden Werten berechnen. Hier
> habe ich für n=4 genommen. Die x und y Werte für die EINE
> HÄLFTE des Kreisstücks lauten damit:
> Hallo,
> irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
> Bis zur Flächensubtraktion komme ich mit.
> Um nun die Trapezformel anwenden zu können muss ich doch
> den Intervall -7,633 bis 7,633 in zB. 4 Teilsegmente
> teilen.
> Also [Schrittweite 3,8315]
>
> X0 -7,663 Y0=9,3165
> X1 -3,8315 Y1=3,3091
> X2 0 Y2=4,15
> X3 3,8315 Y3= 3,3091
> X4 7,663 Y4=9,3165
>
> Dann werden diese Werte in die vorher ermittelte Gleichung
> [mm]y=sqrt(r^2-x^2)-5[/mm] eingesetzt.
> Daraus erhalte ich meine f(x) Werte
Wenn deine YN-Werte f(XN) ist, so stimmen Y1, Y2 und Y3.
Aber Y0 = Y4 = 0.
> Nun zur Trapezformel, diese lautet doch wie folgt:
>
> T(f)= "Schrittweite" * f(X0)/2 + f(X1) + f(X2) + ... +
> f(X4)/2
Hier fehlen Klammern.
T(f) = "Schrittweite" *(f(X0)/2 + f(X1) + f(X2) + f(X3) + f(X4)/2)
>
> dann komme ich aber auf einen Wert von 76,95???
> Ich stehe echt auf dem Schlauch.
Gruß
meili
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Danke für die Hilfe, habe die Aufgabe gelöst. Vielen Dank!!!
Sorry für die sehr späte Antwort.
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