Trapez < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Fr 15.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie,ob sich in einem Trapez die Diagonalen im gleichen Verhältnis teilen. |
Hallo zusammen^^
Ich hab zu dieser Aufgabe die Lösung,versteh aber nicht so ganz wie man drauf kommt.
Lösung:Der Diagonalenschnittpunkt S teilt die Diagonalen im Verhältnis der parallelen Seiten a:c.
So,ich hab zuerst eine Skizze gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und hab mir die geschlossene Vektorkette [mm] \vec{AD}+\vec{DS}\vec{SA}=0
[/mm]
Und dann diese Vektoren durch die anderen asugedrückt,also:
[mm] \vec{AD}=\vec{d}
[/mm]
[mm] \vec{DS}=\alpha*\vec{DB}=\alpha*(-\vec{d}+\vec{a})
[/mm]
[mm] \vec{SA}=-\beta*(\vec{d}+\vec{c})
[/mm]
Dann kann ich das doch so aufschreiben:
[mm] \vec{d}+\alpha*(-\vec{d}+\vec{a})-\beta*(\vec{d}+\vec{c})=0
[/mm]
Das stimmt so aber nicht.
Weiß jemand wo mein Fehler liegt?
Vielen Dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
beachte noch, dass die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] linear abhängig sind.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Fr 15.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
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> beachte noch, dass die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] linear
> abhängig sind.
>
>
Ok,ich hab ja stehen:
[mm] \vec{a}*\alpha+\vec{c}*-\beta+\vec{d}*(1-\alpha-\beta)=0
[/mm]
Da [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] linear abhängig sind,darf ich doch nicht schreiben, dass [mm] \alpha=0 [/mm] ist und [mm] \beta=0 [/mm] ist.
Aber wie soll ich dasdenn sonst machen??Irgenwie versteh ich das grad nicht?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Sa 16.05.2009 | | Autor: | glie |
> > Hallo,
> >
> > beachte noch, dass die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] linear
> > abhängig sind.
> >
> >
>
>
> Ok,ich hab ja stehen:
>
> [mm]\vec{a}*\alpha+\vec{c}*-\beta+\vec{d}*(1-\alpha-\beta)=0[/mm]
>
> Da [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] linear abhängig sind,darf ich doch
> nicht schreiben, dass [mm]\alpha=0[/mm] ist und [mm]\beta=0[/mm] ist.
>
> Aber wie soll ich dasdenn sonst machen??Irgenwie versteh
> ich das grad nicht?
>
> lg
Hallo,
ich hab jetzt deine Lösung nicht bis ins letzte Detail nachvollzogen, aber was auf den ersten Blick auffällt ist folgendes:
Du hast da eine Linearkombination von drei Vektoren stehen! Nachdem das Trapez aber eine ebene Figur ist, muss es möglich sein, alle auftretenden Vektoren durch genau ZWEI linear unabhängige Vektoren auszudrücken!
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Hallo,
> > >
> > > beachte noch, dass die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] linear
> > > abhängig sind.
> > >
> > >
> >
> >
> > Ok,ich hab ja stehen:
> >
> > [mm]\vec{a}*\alpha+\vec{c}*-\beta+\vec{d}*(1-\alpha-\beta)=0[/mm]
> >
> > Da [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] linear abhängig sind,darf ich doch
> > nicht schreiben, dass [mm]\alpha=0[/mm] ist und [mm]\beta=0[/mm] ist.
> >
> > Aber wie soll ich dasdenn sonst machen??Irgenwie versteh
> > ich das grad nicht?
> >
> > lg
>
>
> Hallo,
>
> ich hab jetzt deine Lösung nicht bis ins letzte Detail
> nachvollzogen, aber was auf den ersten Blick auffällt ist
> folgendes:
>
> Du hast da eine Linearkombination von drei Vektoren stehen!
> Nachdem das Trapez aber eine ebene Figur ist, muss es
> möglich sein, alle auftretenden Vektoren durch genau ZWEI
> linear unabhängige Vektoren auszudrücken!
>
Hm,könnte ich vielleicht [mm] \vec{c}=\gamma*\vec{a} [/mm] schreiben?
Dann hätte ich nur noch zwei Vektoren,aber das daraus resultierende LGS kann man nicht lösen,weil ich dann 3 Variablen und nur zwei Gleichungen hab.
Ich versteh grad nicht,wie ich das sonst machen soll???
Kannmir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 So 17.05.2009 | | Autor: | glie |
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > beachte noch, dass die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] linear
> > > > abhängig sind.
> > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > Ok,ich hab ja stehen:
> > >
> > > [mm]\vec{a}*\alpha+\vec{c}*-\beta+\vec{d}*(1-\alpha-\beta)=0[/mm]
> > >
> > > Da [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] linear abhängig sind,darf ich doch
> > > nicht schreiben, dass [mm]\alpha=0[/mm] ist und [mm]\beta=0[/mm] ist.
> > >
> > > Aber wie soll ich dasdenn sonst machen??Irgenwie versteh
> > > ich das grad nicht?
> > >
> > > lg
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > ich hab jetzt deine Lösung nicht bis ins letzte Detail
> > nachvollzogen, aber was auf den ersten Blick auffällt ist
> > folgendes:
> >
> > Du hast da eine Linearkombination von drei Vektoren stehen!
> > Nachdem das Trapez aber eine ebene Figur ist, muss es
> > möglich sein, alle auftretenden Vektoren durch genau ZWEI
> > linear unabhängige Vektoren auszudrücken!
> >
>
> Hm,könnte ich vielleicht [mm]\vec{c}=\gamma*\vec{a}[/mm] schreiben?
> Dann hätte ich nur noch zwei Vektoren,aber das daraus
> resultierende LGS kann man nicht lösen,weil ich dann 3
> Variablen und nur zwei Gleichungen hab.
> Ich versteh grad nicht,wie ich das sonst machen soll???
> Kannmir jemand weiterhelfen?
Hallo Mandy,
das funktioniert schon.
Nachdem über dein Trapez nichts gegeben ist, kannst du nur sagen, dass [mm] \vec{c}=\gamma*\vec{a} [/mm] ist.
Dann verhalten sich die Seitenlängen a zu c wie 1 zu [mm] \gamma.
[/mm]
Betrachte [mm] \gamma [/mm] als festen Parameter und bestimme die Werte für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] aus deinem Gleichungssystem allgemein in Abhängigkeit von [mm] \gamma.
[/mm]
Zeige dann, dass gilt:
[mm] \overline{DS}:\overline{SB}=\gamma:1
[/mm]
Gruß Glie
>
> Vielen Dank
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 So 17.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> das funktioniert schon.
> Nachdem über dein Trapez nichts gegeben ist, kannst du nur
> sagen, dass [mm]\vec{c}=\gamma*\vec{a}[/mm] ist.
> Dann verhalten sich die Seitenlängen a zu c wie 1 zu
> [mm]\gamma.[/mm]
> Betrachte [mm]\gamma[/mm] als festen Parameter und bestimme die
> Werte für [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] aus deinem Gleichungssystem
> allgemein in Abhängigkeit von [mm]\gamma.[/mm]
> Zeige dann, dass gilt:
> [mm]\overline{DS}:\overline{SB}=\gamma:1[/mm]
>
Ok,ich hab jetzt also folgendes:
[mm] \vec{a}*(\alpha-\beta*\gamma)+\vec{d}*(1-\alpha-\beta)=0
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] \alpha=\beta*\gamma
[/mm]
[mm] \beta=1-\alpha
[/mm]
Wenn ich das noch umforme hab ich
[mm] \beta=1-\beta*\gamma
[/mm]
[mm] \alpha=\gamma-\gamma*\alpha
[/mm]
Stimmt das so bis hierhin??
Und dann muss ich ja zeigen,dass [mm] \overline{DS}:\overline{SB}=\gamma:1.
[/mm]
Am Anfang hatte ich ja geschrieben,dass [mm] \overline{DS}=\alpha*\overline{DB}.
[/mm]
Wenn ich das [mm] \alpha [/mm] jetzt einsetze hab ich [mm] \overline{DS}=\gamma-\gamma*\alpha)*(-\vec{d}+\vec{a}).
[/mm]
Aber damit hab ich ja nicht gezeigt,dass [mm] \overline{DS}:\overline{SB}=\gamma:1 [/mm] ???
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 17.05.2009 | | Autor: | glie |
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> > Hallo Mandy,
> >
> > das funktioniert schon.
> > Nachdem über dein Trapez nichts gegeben ist, kannst du
> nur
> > sagen, dass [mm]\vec{c}=\gamma*\vec{a}[/mm] ist.
> > Dann verhalten sich die Seitenlängen a zu c wie 1 zu
> > [mm]\gamma.[/mm]
> > Betrachte [mm]\gamma[/mm] als festen Parameter und bestimme die
> > Werte für [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] aus deinem Gleichungssystem
> > allgemein in Abhängigkeit von [mm]\gamma.[/mm]
> > Zeige dann, dass gilt:
> > [mm]\overline{DS}:\overline{SB}=\gamma:1[/mm]
> >
>
> Ok,ich hab jetzt also folgendes:
>
> [mm]\vec{a}*(\alpha-\beta*\gamma)+\vec{d}*(1-\alpha-\beta)=0[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]\alpha=\beta*\gamma[/mm]
>
> [mm]\beta=1-\alpha[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das sieht jetzt gut aus!
>
> Wenn ich das noch umforme hab ich
>
> [mm]\beta=1-\beta*\gamma[/mm]
> [mm]\alpha=\gamma-\gamma*\alpha[/mm]
>
> Stimmt das so bis hierhin??
Du erhältst dann:
[mm] \alpha=\bruch{\gamma}{\gamma+1}
[/mm]
und
[mm] \beta=\bruch{1}{\gamma+1}
[/mm]
>
> Und dann muss ich ja zeigen,dass
> [mm]\overline{DS}:\overline{SB}=\gamma:1.[/mm]
>
> Am Anfang hatte ich ja geschrieben,dass
> [mm]\overline{DS}=\alpha*\overline{DB}.[/mm]
Setze hier jetzt [mm] \alpha=\bruch{\gamma}{\gamma+1} [/mm] ein.
Ausserdem gilt ja [mm] \overline{SB}=(1-\alpha)*\overline{DB}
[/mm]
Stelle dann das Verhältnis
[mm] \overline{DS}:\overline{SB} [/mm] auf.
Gruß Glie
> Wenn ich das [mm]\alpha[/mm] jetzt einsetze hab ich
> [mm]\overline{DS}=\gamma-\gamma*\alpha)*(-\vec{d}+\vec{a}).[/mm]
> Aber damit hab ich ja nicht gezeigt,dass
> [mm]\overline{DS}:\overline{SB}=\gamma:1[/mm] ???
>
> Vielen Dank
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 17.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ok,ich hab jetzt also folgendes:
> >
> > [mm]\vec{a}*(\alpha-\beta*\gamma)+\vec{d}*(1-\alpha-\beta)=0[/mm]
> >
> > Daraus ergibt sich:
> >
> > [mm]\alpha=\beta*\gamma[/mm]
> >
> > [mm]\beta=1-\alpha[/mm]
>
> Das sieht jetzt gut aus!
>
>
> >
> > Wenn ich das noch umforme hab ich
> >
> > [mm]\beta=1-\beta*\gamma[/mm]
> > [mm]\alpha=\gamma-\gamma*\alpha[/mm]
> >
> > Stimmt das so bis hierhin??
>
> Du erhältst dann:
>
> [mm]\alpha=\bruch{\gamma}{\gamma+1}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\beta=\bruch{1}{\gamma+1}[/mm]
>
>
>
>
>
> >
> > Und dann muss ich ja zeigen,dass
> > [mm]\overline{DS}:\overline{SB}=\gamma:1.[/mm]
> >
> > Am Anfang hatte ich ja geschrieben,dass
> > [mm]\overline{DS}=\alpha*\overline{DB}.[/mm]
>
> Setze hier jetzt [mm]\alpha=\bruch{\gamma}{\gamma+1}[/mm] ein.
>
> Ausserdem gilt ja [mm]\overline{SB}=(1-\alpha)*\overline{DB}[/mm]
>
> Stelle dann das Verhältnis
>
> [mm]\overline{DS}:\overline{SB}[/mm] auf.
>
Ok,ich hab jetzt mal eingesetzt und hab
[mm] \overline{DS}=\bruch{-\vec{d}*\gamma+\vec{a}*\gamma}{\gamma+1}
[/mm]
und [mm] \overline{SB}=-\vec{d}+\vec{a}+\alpha*\vec{d}-\alpha*\vec{a}
[/mm]
Ich weiß jetzt aner leider nicht,wie ich das Verhältnis daraus aufstellen soll,weil ich so viele Variablen hab ???
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 17.05.2009 | | Autor: | glie |
Also ich erhalte:
[mm] \overline{DS}=\bruch{\gamma}{\gamma+1}*\overline{DB}
[/mm]
[mm] \overline{SB}=(1-\bruch{\gamma}{\gamma+1})*\overline{DB}=(\bruch{\gamma+1}{\gamma+1}-\bruch{\gamma}{\gamma+1})*\overline{DB}=\bruch{1}{\gamma+1}*\overline{DB}
[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] \bruch{\overline{DS}}{\overline{SB}}=\bruch{\bruch{\gamma}{\gamma+1}*\overline{DB}}{\bruch{1}{\gamma+1}*\overline{DB}}=\bruch{\gamma}{1}
[/mm]
Und das ist doch genau das Verhältnis der beiden Seitenlängen
[mm] \bruch{\overline{CD}}{\overline{AB}}
[/mm]
denn wir hatten ja angesetzt [mm] \vec{c}=\gamma*\vec{a}
[/mm]
Gruß Glie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Fr 15.05.2009 | | Autor: | glie |
Hallo Mandy,
die mit Abstand einfachste Lösung ist hier der Vierstreckensatz:
[mm] \bruch{\overline{AS}}{\overline{SC}}=\bruch{a}{c}=\bruch{\overline{BS}}{\overline{SD}}
[/mm]
Fertig!!!
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> die mit Abstand einfachste Lösung ist hier der
> Vierstreckensatz:
>
> [mm]\bruch{\overline{AS}}{\overline{SC}}=\bruch{a}{c}=\bruch{\overline{BS}}{\overline{SD}}[/mm]
>
> Fertig!!!
>
Ok,vielen Dank.Klar das ist die einfachste Lösung,aber ich würd gern noch auf die vektorielle Art machen =)
lg
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