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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 So 06.11.2011 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Es seien U, W Teilräume des Vektorraumes V. Man sagt, W sei transversal zu U, wenn [mm]U \cap W = \{0\}[/mm]. Zeige:
W ist genau dann transversal zu U, wenn jeder Vektor v aus U+W nur eine Darstellung der Form v = u + w mit u[mm]\in[/mm]U, w[mm]\in[/mm]W besitzt. |
Hallo und guten Abend,
die Rückrichtung des Beweises bekomme ich (glaube ich) einigermaßen hin.
Sei v [mm]\in U \cap W[/mm], die Schnittmenge ist wegen des Kriteriums für Teilräume nicht leer. Dann ist sowohl v = v + 0 und v = 0 + v und wegen der geforderten Eindeutigkeit der Darstellung muss v = 0 gelten.
Ist das so ok?
Bei der Hinrichtung hänge ich aber.
Gruß,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Palonina,
> Sei v [mm]\in U \cap W[/mm], die Schnittmenge ist wegen des
> Kriteriums für Teilräume nicht leer. Dann ist sowohl v =
> v + 0 und v = 0 + v und wegen der geforderten Eindeutigkeit
> der Darstellung muss v = 0 gelten.
>
> Ist das so ok?
Ja! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei der Hinrichtung hänge ich aber.
Sei [mm] $v\in [/mm] U+W$ mit Darstellungen $v=u+w$ und $v=u'+w'$ für gewisse [mm] $u,u'\in [/mm] U$ und [mm] $w,w'\in [/mm] W$. Zu zeigen ist $u=u'$ und $w=w'$.
Es gilt wegen $u+w=v=u'+w'$ auch $u-u'=w'-w$...
Kommst du damit schon weiter?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 06.11.2011 | | Autor: | Palonina |
Hallo Tobias,
mhm, ich bin mir noch nicht ganz sicher...
Es läuft darauf hinaus, dass wegen [mm] U \cap W = \{0\} [/mm] gelten muss [mm] u-u'=w'-w = 0[/mm], also u=u' und w=w' und damit eine eindeutige Darstellung.
Aber mir fehlt dann die Argumentation, warum u-u' und w-w im Durchschnitt liegen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 So 06.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Es läuft darauf hinaus, dass wegen [mm]U \cap W = \{0\}[/mm] gelten
> muss [mm]u-u'=w'-w = 0[/mm], also u=u' und w=w' und damit eine
> eindeutige Darstellung.
Genau!
> Aber mir fehlt dann die Argumentation, warum u-u' und w-w
> im Durchschnitt liegen.
Es gilt [mm] $u-u'\in [/mm] U$ (denn [mm] $u'\in U\Rightarrow-u'\in U\Rightarrow u+(-u')\in [/mm] U$) und analog [mm] $w'-w\in [/mm] W$.
Da auch [mm] $u-u'=w'-w\in [/mm] W$ gilt, folgt [mm] $u-u'\in U\cap [/mm] W$ und damit auch [mm] $w'-w=u-u'\in U\cap [/mm] W$.
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