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| Aufgabe | Sei [mm] n\in\mathbb{N},n\geq1[/mm]. Für [mm]k,m\in\{1,2,...,n\},k
[mm]\tau_{km}:\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,n\},\,\,\, i\mapsto\begin{cases}
i & \,\,\, falls\, i\neq k,m\\
m & \,\,\, falls\, i=k\\
k & \,\,\, falls\, i=m\end{cases}[/mm]
(diese Elemente von [mm]S_{n}[/mm] werden Transpositionen genannt). Zeigen Sie:
(a) [mm]sign(\tau_{km})=-1\,\,\,\forall k,m\in\mathbb{Z},1\leq k
(b) Jedes [mm]\sigma\in S_{n}\,\,\,(n\geq2) [/mm] lässt sich als Produkt von Transpositionen der Form [mm]\tau_{1m}[/mm] schreiben.
(c) Jedes [mm]\sigma\in S_{n}\,\,\,(n\geq2)[/mm] lässt sich als Produkt von Transpositionen der Form [mm]\tau_{k(k+1)}[/mm] schreiben. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe zu überhaupt gar keinem Ansatz. Ich möchte mich zunächst auf Aufgabenteil (a) konzentrieren. Wenn ich da etwas hinbekommen könnte, ist es mir vielleicht möglich, (b) und (c) von alleine zu lösen.
Kann mir jemand bei einem Ansatz helfen?
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> Sei [mm]n\in\mathbb{N},n\geq1[/mm]. Für [mm]k,m\in\{1,2,...,n\},k
> bezeichne [mm]\tau_{km}\in S_{n} [/mm]die Abbildung, die k und m
> vertauscht, d.h.
>
> [mm]\tau_{km}:\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,n\},\,\,\, i\mapsto\begin{cases}
i & \,\,\, falls\, i\neq k,m\\
m & \,\,\, falls\, i=k\\
k & \,\,\, falls\, i=m\end{cases}[/mm]
>
> (diese Elemente von [mm]S_{n}[/mm] werden Transpositionen genannt).
> Zeigen Sie:
>
> (a) [mm]sign(\tau_{km})=-1\,\,\,\forall k,m\in\mathbb{Z},1\leq k
> Hallo,
> ich komme bei dieser Aufgabe zu überhaupt gar keinem
> Ansatz. Ich möchte mich zunächst auf Aufgabenteil (a)
> konzentrieren.
Hallo,
was hast Du denn bisher getan?
Hast Du verstanden, was die Abbildung [mm] \tau_{km} [/mm] tut?
Nehmen wir mal n=5 und betrachten [mm] \tau_1_4. [/mm] Welche Permutation ist das?
Um die Sache mit dem signum auf die Spur zu kommen, brauchst Du natürlich die Definition vom signum einer permutation. Die ist?
Und nun rechne [mm] sign(\tau_1_4) [/mm] aus.
Danach wirst Du vermutlich mit dem allgemeinen weiterkommen.
Übrigens ist all das, was ich jetzt sage bzw. frage das, was ich von vornherein hier als Lösungsansatz erwarten würde.
Ergeben sich hier dann konkrete Fragen ergeben, weiß man, wo man weiterhelfen kann.
Gruß v. Angela
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Okay ich bin im moment recht verwirrt, weil ich leider auch die Vorlesung zu diesem Thema verpasst habe. Hab mir jetzt versucht den Stoff anzulesen, denke aber, dass ich das noch nicht so recht verstanden habe (was man an meinen Fragen sehr wahrscheinlich auch merkt).
Das Signum allgemein einer Permutation [mm] \pi [/mm] ist definiert:
sign[mm]\pi=\underset{1\leq i
Wenn ich jetzt [mm] \tau_{14}[/mm] berechne, dann sieht das ja irgendwie so aus [mm] \tau_{14}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n\\
4 & 2 & 3 & 1 & \ldots & n\end{pmatrix}[/mm].
Ich denke mal nicht, dass ich da mit der obigen Definition weiterkomme oder? Also würde ich über die Anzahl [mm]s[/mm] der Fehlstände gehen. Dann wäre sign[mm]\tau=(-1)^s[/mm].
Sollte man das so machen?
Ein Fehlstand ist ja nichts anderes als ein negativer Faktor, der sich beim Einsetzen in die Formel ergibt (also brauche ich die Definition hier ja doch).
Also ermittele ich quasi, wieviele Faktoren negativ sind. Da müsste dann eine ungerade Anzahl herauskommen.
Jetzt ist meine Frage eigentlich nur: Ist diese Idee zur Lösung soweit richtig und (wenn ja) wie genau komme ich auf die Anzahl der Fehlstände?
Ich entschuldige mich für die (teilweise) schlechte Formulierung.
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> Das Signum allgemein einer Permutation [mm]\pi[/mm] ist definiert:
> sign[mm]\pi=\underset{1\leq i
>
> Wenn ich jetzt [mm]\tau_{14}[/mm] berechne, dann sieht das ja
> irgendwie so aus [mm]\tau_{14}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n\\
4 & 2 & 3 & 1 & \ldots & n\end{pmatrix}[/mm].
Hallo,
ja, und für n=5 so:
[mm] \tau_{14}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 2 & 3 & 1 &5\end{pmatrix}
[/mm]
> Ich denke mal nicht, dass ich da mit der obigen Definition
> weiterkomme oder?
Hallo,
ich denke doch.
Hast Du denn schonmal eingesetzt?
[mm] sign]\tau_{14}=\frac{\tau_{14}(2)-\tau_{14}(1)}{2-1}*\frac{\tau_{14}(3)-\tau_{14}(1)}{3-1}*\frac{\tau_{14}(3)-\tau_{14}(2)}{3-2}*\frac{\tau_{14}(4)-\tau_{14}(1)}{4-1}*\frac{\tau_{14}(4)-\tau_{14}(2)}{4-2}*\frac{\tau_{14}(4)-\tau_{14}(3)}{4-3}*\frac{\tau_{14}(5)-\tau_{14}(1)}{5-1}*\frac{\tau_{14}(5)-\tau_{14}(2)}{5-2}*\frac{\tau_{14}(5)-\tau_{14}(3)}{5-3}\frac{\tau_{14}(5)-\tau_{14}(4)}{5-4}
[/mm]
Manche der vorkommenden Faktoren dürften =1 sein, und die restlichen mußt Du dann genauer anschauen.
> Also ermittele ich quasi, wieviele Faktoren negativ sind.
> Da müsste dann eine ungerade Anzahl herauskommen.
Ja.
Gruß v. Angela
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Aber wie komme ich dann auf eine Verallgemeinerung für die Anzahl der Fehlstände?
Bei dem Beispiel [mm] \tau_{14}[/mm] wären das 5. Wenn ich das mit anderen Werten für k,m,n mache, kommt auch immer was negatives raus. Mir gelingt es nun aber nicht das zu verallgemeinern.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 07.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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