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| Aufgabe | Sei $K$ Körper, [mm] $a,b\in [/mm] K$ und $f$ ein lineare Funktional auf [mm] $K^2$ [/mm] gegeben durch [mm] $f(x_1,x_2)=ax_1+bx_2$.
[/mm]
Zu jedem der folgenden linearen Operatoren $T$ sei $g=T^tf$.
Bestimmen sie [mm] $g(x_1,x_2)$.
[/mm]
a) [mm] $T(x_1,x_2)=(x_1,0)$
[/mm]
b) [mm] $T(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)$
[/mm]
[mm] c)$T(x_1,x_2)=(x_1-x_2,x_1+x_2)$ [/mm] |
Guten Tag,
ich bin gerade am Wiederholen von Lineare Algebra 1 und diese Aufgabe ist mir noch nicht so ganz klar.
Was ich gemacht habe:
Sei [mm] $\mathcal{B}:=\{b_1,b_2\}$ [/mm] Standardbasis für $K$.
Nun habe ich die Darstellungsmatrix [mm] $[T]_\mathcal{B}$ [/mm] zu $T$ und die Darstellungsmatrix [mm] $[f]_\mathcal{B}$ [/mm] zu f bzgl. der Standardbasis berechnet:
a)
[mm] $[T]_\mathcal{B}=\pmat{1& 0\\0& 0}$, \quad [f]_\mathcal{B}=\pmat{a& 0\\0& b}$$
[/mm]
und dann einfach [mm] $[g]_\mathcal{B}=\left( [T]_\mathcal{B}\right) ^t*[f]_\mathcal{B}$ [/mm] berechnet.
damit habe ich erhalten: [mm] $[g]_\mathcal{B}=\pmat{a& 0\\0& 0}\Leftrightarrow g(x_1,x_2)=ax_1$.
[/mm]
Nun ist meine Frage, ob dieses Vorgehen, bzw. das Ergebnis richtig ist?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:45 Di 12.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]K[/mm] Körper, [mm]a,b\in K[/mm] und [mm]f[/mm] ein lineare Funktional auf
> [mm]K^2[/mm] gegeben durch [mm]f(x_1,x_2)=ax_1+bx_2[/mm].
> Zu jedem der folgenden linearen Operatoren [mm]T[/mm] sei [mm]g=T^tf[/mm].
> Bestimmen sie [mm]g(x_1,x_2)[/mm].
> a) [mm]T(x_1,x_2)=(x_1,0)[/mm]
> b) [mm]T(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)[/mm]
> c)[mm]T(x_1,x_2)=(x_1-x_2,x_1+x_2)[/mm]
> Guten Tag,
>
> ich bin gerade am Wiederholen von Lineare Algebra 1 und
> diese Aufgabe ist mir noch nicht so ganz klar.
>
> Was ich gemacht habe:
> Sei [mm]\mathcal{B}:=\{b_1,b_2\}[/mm] Standardbasis für [mm]K[/mm].
Du meinst sicher [mm] K^2
[/mm]
> Nun habe ich die Darstellungsmatrix [mm][T]_\mathcal{B}[/mm] zu [mm]T[/mm]
> und die Darstellungsmatrix [mm][f]_\mathcal{B}[/mm] zu f bzgl. der
> Standardbasis berechnet:
>
> a)
>
> [mm][T]_\mathcal{B}=\pmat{1& 0\\0& 0}[/mm], [mm]\quad [f]_\mathcal{B}=\pmat{a& 0\\0& b}[/mm][mm][/mm]
[mm] [f]_\mathcal{B} [/mm] ist sicher nicht richtig, denn f bildet nach K ab und nicht nach [mm] K^2.
[/mm]
>
> und dann einfach [mm][g]_\mathcal{B}=\left( [T]_\mathcal{B}\right) ^t*[f]_\mathcal{B}[/mm]
> berechnet.
>
> damit habe ich erhalten: [mm][g]_\mathcal{B}=\pmat{a& 0\\0& 0}\Leftrightarrow g(x_1,x_2)=ax_1[/mm].
>
> Nun ist meine Frage, ob dieses Vorgehen, bzw. das Ergebnis
> richtig ist?
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> Dudi
Nach Def. ist doch
[mm] g(x_1,x_2)=f(T(x_1,x_2))
[/mm]
FRED
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> > Sei [mm]K[/mm] Körper, [mm]a,b\in K[/mm] und [mm]f[/mm] ein lineare Funktional auf
> > [mm]K^2[/mm] gegeben durch [mm]f(x_1,x_2)=ax_1+bx_2[/mm].
> > Zu jedem der folgenden linearen Operatoren [mm]T[/mm] sei
> [mm]g=T^tf[/mm].
> > Bestimmen sie [mm]g(x_1,x_2)[/mm].
> > a) [mm]T(x_1,x_2)=(x_1,0)[/mm]
> > b) [mm]T(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)[/mm]
> > c)[mm]T(x_1,x_2)=(x_1-x_2,x_1+x_2)[/mm]
> > Guten Tag,
> >
> > ich bin gerade am Wiederholen von Lineare Algebra 1 und
> > diese Aufgabe ist mir noch nicht so ganz klar.
> >
> > Was ich gemacht habe:
> > Sei [mm]\mathcal{B}:=\{b_1,b_2\}[/mm] Standardbasis für [mm]K[/mm].
>
>
>
> Du meinst sicher [mm]K^2[/mm]
Ja, natürlich, kleiner Schreibfehler ;)
>
>
> > Nun habe ich die Darstellungsmatrix [mm][T]_\mathcal{B}[/mm] zu [mm]T[/mm]
> > und die Darstellungsmatrix [mm][f]_\mathcal{B}[/mm] zu f bzgl. der
> > Standardbasis berechnet:
> >
> > a)
> >
> > [mm][T]_\mathcal{B}=\pmat{1& 0\\0& 0}[/mm], [mm]\quad [f]_\mathcal{B}=\pmat{a& 0\\0& b}[/mm][mm][/mm]
>
>
> [mm][f]_\mathcal{B}[/mm] ist sicher nicht richtig, denn f bildet
> nach K ab und nicht nach [mm]K^2.[/mm]
Oh, ja, natürlich.
Es muss heißen: [mm] $[f]=\pmat{a\\b}$.
[/mm]
> >
> > und dann einfach [mm][g]_\mathcal{B}=\left( [T]_\mathcal{B}\right) ^t*[f]_\mathcal{B}[/mm]
> > berechnet.
> >
> > damit habe ich erhalten: [mm][g]_\mathcal{B}=\pmat{a& 0\\0& 0}\Leftrightarrow g(x_1,x_2)=ax_1[/mm].
>
> >
> > Nun ist meine Frage, ob dieses Vorgehen, bzw. das Ergebnis
> > richtig ist?
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> > Dudi
>
>
>
> Nach Def. ist doch
>
> [mm]g(x_1,x_2)=f(T(x_1,x_2))[/mm]
Okay, aber das wäre dann ja die Gleiche Abbildung, wie ich sie bestimme habe, oder?
Ich verstehe nur nicht ganz, warum [mm] $(T^tf)(x_1,x_2)=f(T(x_1,x_2))$ [/mm] gilt.
Vielen Dank für deine Antwort.
Liebe Grüße
Dudi
>
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 12.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]K[/mm] Körper, [mm]a,b\in K[/mm] und [mm]f[/mm] ein lineare Funktional auf
> > > [mm]K^2[/mm] gegeben durch [mm]f(x_1,x_2)=ax_1+bx_2[/mm].
> > > Zu jedem der folgenden linearen Operatoren [mm]T[/mm] sei
> > [mm]g=T^tf[/mm].
> > > Bestimmen sie [mm]g(x_1,x_2)[/mm].
> > > a) [mm]T(x_1,x_2)=(x_1,0)[/mm]
> > > b) [mm]T(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)[/mm]
> > > c)[mm]T(x_1,x_2)=(x_1-x_2,x_1+x_2)[/mm]
> > > Guten Tag,
> > >
> > > ich bin gerade am Wiederholen von Lineare Algebra 1 und
> > > diese Aufgabe ist mir noch nicht so ganz klar.
> > >
> > > Was ich gemacht habe:
> > > Sei [mm]\mathcal{B}:=\{b_1,b_2\}[/mm] Standardbasis für [mm]K[/mm].
> >
> >
> >
> > Du meinst sicher [mm]K^2[/mm]
>
> Ja, natürlich, kleiner Schreibfehler ;)
> >
> >
> > > Nun habe ich die Darstellungsmatrix [mm][T]_\mathcal{B}[/mm] zu [mm]T[/mm]
> > > und die Darstellungsmatrix [mm][f]_\mathcal{B}[/mm] zu f bzgl. der
> > > Standardbasis berechnet:
> > >
> > > a)
> > >
> > > [mm][T]_\mathcal{B}=\pmat{1& 0\\0& 0}[/mm], [mm]\quad [f]_\mathcal{B}=\pmat{a& 0\\0& b}[/mm][mm][/mm]
>
> >
> >
> > [mm][f]_\mathcal{B}[/mm] ist sicher nicht richtig, denn f bildet
> > nach K ab und nicht nach [mm]K^2.[/mm]
>
> Oh, ja, natürlich.
> Es muss heißen: [mm][f]=\pmat{a\\b}[/mm].
> > >
> > > und dann einfach [mm][g]_\mathcal{B}=\left( [T]_\mathcal{B}\right) ^t*[f]_\mathcal{B}[/mm]
> > > berechnet.
> > >
> > > damit habe ich erhalten: [mm][g]_\mathcal{B}=\pmat{a& 0\\0& 0}\Leftrightarrow g(x_1,x_2)=ax_1[/mm].
>
> >
> > >
> > > Nun ist meine Frage, ob dieses Vorgehen, bzw. das Ergebnis
> > > richtig ist?
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > Dudi
> >
> >
> >
> > Nach Def. ist doch
> >
> > [mm]g(x_1,x_2)=f(T(x_1,x_2))[/mm]
>
> Okay, aber das wäre dann ja die Gleiche Abbildung, wie ich
> sie bestimme habe, oder?
> Ich verstehe nur nicht ganz, warum
> [mm](T^tf)(x_1,x_2)=f(T(x_1,x_2))[/mm] gilt.
Wie habt ihr denn $T^tf$ definiert ?
FRED
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> Liebe Grüße
> Dudi
> >
> >
> > FRED
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