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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] SL_{2}(\IR) [/mm] transitiv auf [mm] \overline{\IR} [/mm] = [mm] \IR \cup \{\infty\} [/mm] operiert vermöge:
[mm] \pmat{a & b \\ c & d}x [/mm] = [mm] \begin{cases} \infty, & \mbox{falls } x=\infty,c=0 \\ a/c, & \mbox{falls } x=\infty , c\not= 0 \\ \infty , & \mbox{falls } x \not= \infty , cx+d=0 \\ (ax+b)/(cx+d),& \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] |
Hallöchen 
Stecke leider bei dieser (bestimmt nicht schweren) Aufgabe fest. Bei mir scheitert es momentan an der Begrifflichkeit "Transitive Operation":
Sei G Gruppe, M eine Menge. G operiert transitiv auf M, wenn es ein x [mm] \in [/mm] M gibt, mit Gx=M.
Ich weiß nicht so richtig, wie ich hier jetzt rangehen soll. Muss ich einfach nur zeigen: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IR: \pmat{ a & b \\ c & d}x=\overline{\IR}, [/mm] also wenn x [mm] \not= \infty [/mm] muss gelten:
[mm] \{\infty\} \cup \{(ax+b)/(cx+d)\} [/mm] = [mm] \overline{\IR}?
[/mm]
Würde mich über einen kurzen Tipp freuen
Viele Grüße
derriemann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Sa 23.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass [mm]SL_{2}(\IR)[/mm] transitiv auf [mm]\overline{\IR}[/mm] =
> [mm]\IR \cup \{\infty\}[/mm] operiert vermöge:
>
> [mm]\pmat{a & b \\ c & d}x[/mm] = [mm]\begin{cases} \infty, & \mbox{falls } x=\infty,c=0 \\ a/c, & \mbox{falls } x=\infty , c\not= 0 \\ \infty , & \mbox{falls } x \not= \infty , cx+d=0 \\ (ax+b)/(cx+d),& \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Hallöchen
>
> Stecke leider bei dieser (bestimmt nicht schweren) Aufgabe
> fest. Bei mir scheitert es momentan an der Begrifflichkeit
> "Transitive Operation":
> Sei G Gruppe, M eine Menge. G operiert transitiv auf M,
> wenn es ein x [mm]\in[/mm] M gibt, mit Gx=M.
Genauer: dies muss fuer jedes $x [mm] \in [/mm] M$ gelten, da es eine Gruppenoperation ist.
Du kannst also z.B. $x = 0$ waehlen. (Damit wird die Formel sehr einfach.) Jetzt rechne [mm] $\pmat{a & b \\ c & d} [/mm] x$ mit der obigen Formel aus, und dann kannst du fuer jedes $y [mm] \in \overline{\IR}$ [/mm] eine Wahl von Parametern angeben, dass $y$ herauskommt.
LG Felix
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Hey, danke für die Antwort
Hm, also z.B.
sei x = 0:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d}(x)= [/mm] b/d
Sei y [mm] \in \overline{\IR}: [/mm] b/d * dy/b = y, also transitiv für x = 0
sei x [mm] \not= \{0, \infty\}:
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d}(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Wenn y = [mm] \infty [/mm] gilt: [mm] \infty*z [/mm] (z [mm] \in \overline{\IR}) [/mm] = [mm] \infty [/mm] = y
Wenn y [mm] \not= \infty [/mm] gilt: Nun kann man doch keinen Parameter angeben, so dass [mm] \infty [/mm] * z = y?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 26.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hey,
felix hat dir ja schon gesagt, wie du zeigen kannst, dass die Operation transitiv ist.
Was du hier nicht vernachlässigen solltest ist die Frage, warum die gegebene Abbildung überhaupt eine Operation ist.
Da die Abbildung ja nicht so einfach ist, dass man sagen könnte "klarerweise ist das eine Operation", würde ich als Teil der Lösung auch dafür ein wenig Zeit aufwenden.
lg
Schadow
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