Transfromation durch Drehung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Ich hab folgendes Beispiel zu lösen
Die folgenden Kegelschnittslinien sind durch eine Drehung S (det S = 1) des Koordinatensystems auf Hauptachsenform zu transformieren:
[mm] x_{2} [/mm] + xy + [mm] y_{2} [/mm] = 1
Ich weiß schon das ihr das nicht gern habt wenn man nur die Angabe postet aber in diesem Fall habe ich Leider überhaupt keine Ahnung was man tun muss
Meine Vermutung ist Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen aber von welcher Matrix
Ich hätte mir das so gedacht
[mm] x^{2} [/mm] + xy + [mm] y^{2} [/mm] = 1
[mm] \pmat{x^{2} &\bruch{xy}{2} \\ \bruch{xy}{2} & y^{2}} [/mm] wobei ich mir da schon nicht sicher bin ob das stimmt oder was es mir bringt?
Könnt ihr mir vielleicht einen Tip geben wie ich auf die Matrix komme von der ich die Eigenwerte berechnen kann falls es so überhaupt zur Lösung führt
Danke schon mal
Stevo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mo 10.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
![[]](/images/popup.gif) Hier ist alles erklärt (einfach mal unter "Hauptachsentransformation googlen).
Der erste Schritt besteht als darin die Matrix [mm] $\pmat{1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1}$ [/mm] zu diagonalisieren...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo
genau so hab ichs auch schon gerechnet:
[mm] S^{-1} \pmat{ 1 & \bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} &1 }S=D
[/mm]
[mm] \vmat{ 1- \lambda & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 1- \lambda}
[/mm]
= [mm] \lambda_{1}=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \lambda_{2}=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}x_{1}+\bruch{1}{2}x_{2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}x_{1}+\bruch{1}{2}x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=-x_{2}
[/mm]
[mm] x=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{2}x_{1}+\bruch{1}{2}x_{2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}x_{1}+\bruch{-1}{2}x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=x_{2}
[/mm]
[mm] x=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
wenn ich daraus die S-Matrix bilde
[mm] S=\pmat{ 1 & -1\\ 1 & 1 } [/mm] von der die Determinante 2 ist laut Angabe sollte diese aber 1 sein??
Danke
Stevo
|
|
|
| |
|
Hallo Stevo,
> genau so hab ichs auch schon gerechnet:
... [mm]x=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
richtig.
>
....
> [mm]x=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
richtig.
Aber das sind erstmal nur die Eigenvektoren. Für die Matrix S brauchst du aber eine Orthonormalbasis aus diesen Eigenvektoren!
Das machst du mit Schmidtschem Orthogonal.-verfahren, anschließend normierst du die Vektoren noch auf Länge 1. Daraus (!) setzt sich dann die Matrix S zusammen- sie ist orthogonal, und hier anscheinend eine Drehung, deshalb det(S)=+1.
mfg
Daniel
|
|
|
|
