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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 Mo 08.06.2009 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | | Man benutze den Transformations-Satz um [mm] \integral_{}^{}\integral_{D}^{}{(x^2-y^2) d(x,y)} [/mm] zu berechnen, wo [mm] D:=\{(x,y)\in \IR^2|2 \le xy \le 4, 0 \le x-y\le3, x \ge 0, y\ge 0\} [/mm] (Man muss die richtige Abbildung selber finden!) |
Hallo zusammen,
ich habe bei der Aufgabe das Problem, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich selber auf die Abbildung kommen soll, also wie man da vorgeht.
Ich hab mir bereits eine Skizze gezeichnet... die bringt mich aber nicht wirklich weiter.
ich bin über jeder Hilfe dankbar!
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Hallo dupline,
> Man benutze den Transformations-Satz um
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{D}^{}{(x^2-y^2) d(x,y)}[/mm] zu
> berechnen, wo [mm]D:=\{(x,y)\in \IR^2|2 \le xy \le 4, 0 \le x-y\le3, x \ge 0, y\ge 0\}[/mm]
> (Man muss die richtige Abbildung selber finden!)
> Hallo zusammen,
>
> ich habe bei der Aufgabe das Problem, dass ich überhaupt
> nicht weiß, wie ich selber auf die Abbildung kommen soll,
> also wie man da vorgeht.
> Ich hab mir bereits eine Skizze gezeichnet... die bringt
> mich aber nicht wirklich weiter.
Aus der Skizze erkennst Du, daß das Gebiet über dem
zu integrieren ist, durch die Schnittpunkte der Funktionen
[mm]y=\bruch{a}{x}, \ 2 \le a \le 4[/mm]
und
[mm]y=x+b, \ -3 \le b \le 0[/mm]
gegeben ist.
Berechne hier die Schittpunkte dieser Funktionen
in Abhängigkeit von a und b.
Dann hast Du
[mm]x=x\left(a,b\right), \ y=y\left(a,b\right)[/mm]
Und dann kannst Du den Transformationssatz anwenden,
um obiges Integral zu berechnen.
>
> ich bin über jeder Hilfe dankbar!
>
Gruß
MathePower
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Wenn du
[mm]u = xy \, , \ \ v = x-y[/mm]
als neue Variable einführst, dann lauten die Integrationsbedingungen [mm]2 \leq u \leq 4[/mm] und [mm]0 \leq v \leq 3[/mm]. Es wird also über ein Rechteck integriert, einfacher geht es nicht! Nur die Berechnung des neuen Integranden ist nicht ganz einfach. Es empfiehlt sich, nicht gleich alles in [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] auszudrücken, sondern das auf später zu verschieben. Nach der Transformationsformel gilt
(*) [mm]\left( x^2 - y^2 \right)~\mathrm{d}(x,y) = \left( x^2 - y^2 \right) \cdot \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right|~\mathrm{d}(u,v)[/mm]
Auf der rechten Seite mußt du dir bei [mm]x^2 - y^2[/mm] für [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] die Ausdrücke in [mm]u,v[/mm] eingesetzt denken, die man erhält, wenn man die Gleichungen [mm]u = xy[/mm] und [mm]v = x-y[/mm] nach [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] auflöst. Du mußt diese Auflösung aber nicht explizit vornehmen. Zur Übung lohnt es sich dennoch, das einmal auszurechnen, vor allem auch, um die Bijektivität der Transformation einzusehen. Beachte den Zusammenhang
[mm]\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \frac{1}{\left( \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \right)[/mm]
zwischen den Funktionaldeterminanten der Transformation [mm](u,v) \mapsto (x,y)[/mm] und ihrer Umkehrtransformation [mm](x,y) \mapsto (u,v)[/mm]. Die rechte Seite kann leicht berechnet werden. Setze das bei (*) ein, vereinfache, und drücke zum Schluß den Term in den Variablen [mm]u,v[/mm] aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Di 09.06.2009 | | Autor: | dupline |
Vielen Dank euch beiden,
ich hab mich für die Vorgehensweise von Leopold entschieden, da ich bereits eine Aufgabe so ähnlich gelöst habe.
Allerdings hänge ich jetzt bei dem Problem [mm] \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\left( \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \right)} [/mm] auszurechnen.
ich hab ja 1/Matrix und müsste die det(1/Matrix) ausrechnen, das ist ja nicht dasselbe wie 1/det(Matrix) oder?.... wie mach ich das ?
die andere Variante, nach x und y aufzulösen und die Jacobi-Matrix danach aufzustellen habe ich auch versucht, allerdings wird das (wie du bereits geschrieben hast) sehr sehr unübersichtlich.
Danke schon jetzt
dupline
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Mit [mm]\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}[/mm] ist nicht die Funktionalmatrix, sondern schon deren Determinante gemeint. Ich habe
[mm]\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = - (x+y)[/mm]
erhalten. Das ist eine kurze Rechnung.
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