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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 So 01.02.2009 | | Autor: | Seiko |
Hallo an alle ^_^,
ich habe eine Frage bezüglich Transformationsmatrizen.
Irgendwie ecke ich an ein paar Kanten an, so dass es mir noch nicht 100 % klar ist.
Ich sag einfach mal was ich bisher so weiss..vielleicht wird euch dann deutlich wo es hängt.
- Ich habe es so verstanden, dass die Tranformationsmatirx gebraucht wird um eine Abbildung bezüglich einer anderen Basis des Urbildes darzustellen.
Als beispiel:
Berechne die darstellende Matrix der linearen Abbildung f: [mm] \IR³ \to \IR³, [/mm]
f(x,y,z) = (4(x-y)+7z,3(x-y)+5z,2x-y+z)
bezüglich der Basis [mm] \{e_{1},e_{1}+e_{2},e_{1}+e_{2}+e_{3}\}, [/mm] wobei [mm] {e_{1},e_{2},e_{3}} [/mm] die Standartbasis [mm] $\IR³ [/mm] $ bezeichnet
Wäre hier von der Standartbasis gesprochen, müsste man(sehr banal gesprochen) diese Standartbasis vom Urbild lediglich durch die Vorschrift "schicken", diese Mithilfe der Basis des Bildes bilden. Man nimmt dann einfach die Koeffizienten und trägt diese in die Matrix ein. Somit hätte man schon die Darstellungsmatrix bzgl der Standartbasis.
Also bildlich gesprochen:
f [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] -> [mm] \vektor{4\\ 3 \\ 2} [/mm] = 4* [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 3*\vektor{0\\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 2*\vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
f [mm] \vektor{0\\ 1 \\ 0} ->\vektor{-4\\ -3 \\ -1} [/mm] = (-4)* [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] (-3)*\vektor{0\\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] (-1)*\vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
f [mm] \vektor{0\\ 0 \\ 1} ->\vektor{7\\ 5 \\ 1} [/mm] = 7* [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 5*\vektor{0\\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 1*\vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
also wäre $ [mm] M_{B}^{A}(f) [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2 \\ -4 & -3 & -1 \\ 7 & 5 & 1} [/mm] $
(kleine Frage nebenbei) : Werden die Koeffizienten Zeilenweise oder Spaltenweise eingetragen. Im Prinzip macht es nicht viel aus, aber will nicht durch Falsche angewohnheit später Fehler machen. Also meine
"korrekt" sähe es so aus
$ [mm] M_{B}^{A}(f) [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 4 & -4 & 7 \\ 3 & -3 & 5 \\ 2 & -1 & 1} [/mm] $
Meine diese Schreibweise ist richtig, und wende diese auch in diesem Post weiterhin an.
Hoffe soweit habe ich nicht zuviele Sprach und Denkfehler gemacht :P
Da nun aber nicht von der Standartbassis gesprochen wird sondern [mm] \{e_{1},e_{1}+e_{2},e_{1}+e_{2}+e_{3}\}
[/mm]
brauche ich die Transformationsmatrizen.
Dies sieht folgendermaßen aus [mm] B=C^{-1}\cdot{}A\cdot{}C [/mm]
A ist die Matrix bzgl der Standartbasis, B ist die Marix bzgl der "Neuen" Basis
C ist die Tranformationsmatrix
Bzgl der Neuen Basis sähe es so aus :
f [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] -> [mm] \vektor{4\\ 3 \\ 2} [/mm] = 4* [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 3*\vektor{0\\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 2*\vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
f [mm] \vektor{1\\ 1 \\ 0} ->\vektor{0\\ 0 \\ 1} [/mm] = 0* [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 0*\vektor{0\\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 1*\vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
f [mm] \vektor{1\\ 1 \\ 1} ->\vektor{7\\ 5 \\ 2} [/mm] = 7* [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 5*\vektor{0\\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 2*\vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
Wäre also B = $ [mm] \pmat{ 4 & 0 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 2} [/mm] $
Nun muss ich also noch geeignete Tranformationsmatrizen finden damit die "Gleichung " stimmt.
Aber wozu das Ganze, was bringt mir das genau ? habe doch alles was ich eigentlich brauche bzw was wichtig in der Aufgabe ist oder nicht ? Irgendwie hängt es da
bin für jede Hilfe dankbar
mfg
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Hallo,
ich hatte es in den Vorlesungen so verstanden.
Du hast später ein Gleichungssystem: [mm]A*x = b[/mm].
Nun willst du das in der Form darstellen: [mm] S*A*R * R^{-1} *x = S*b [/mm].
Wobei S und R Matrizen (für Basiswechsel) sind, die so gewählt werden, dass [mm]S*A*R[/mm] die spezielle Form [mm]\pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] hat, so dass man bei linearen Gleichungssystemen direkt die Lösungen ablesen kann. Also was die Unbekannten x in diesem Fall sind.
Aber ich lasse mich auch gerne eines besseren belehren.
Mfg,
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 So 01.02.2009 | | Autor: | alexwie |
Hi
Die Transformationsmatrix C ist die matrix mit der du die "alte" Basis matrix Multiplizieren musst um die "neue" zu erhalten. In deinem Fall ist das doch einfach
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 &1\\0&0&1 }. [/mm] Dann sagt dir ein Satz dass eben die Matrix der linearen Abbildung so transformiert wie du dass angegeben hast.
Du musst also nicht erst seperat die Transformationsmatrix ausrechnen. Du hast sie schon gegeben
LG Alex
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