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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 24.04.2014 | | Autor: | Killuah |
| Aufgabe | Gegeben: V,W Vektorräume,
Basis von V: [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Berechnen sie die Transformationsmatrix von V nach W, wenn
[mm] f(v_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -3}
[/mm]
[mm] f(v_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{-5 \\ 7}
[/mm]
[mm] f(v_{3}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -4} [/mm] |
Ich habe das Bild von dem Kommutierenden Diagramm, wie man diese Transformationsmatrix berechnet vor mir.
Ich weiß, dass ich die inverse Matrix zu
[mm] \pmat{ 1 & -1 &1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 }
[/mm]
brauche.
Diese habe ich schon berechnet und überprüft. Sie lautet:
[mm] \pmat{ 0,5 & 0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & -1 \\ 1 & 0 & -1}.
[/mm]
Desweiteren habe ich schon die Matrix
[mm] \pmat{ 3 & -5 & 2 \\ -3 & 7 & -4},
[/mm]
die ich ja auch noch zur Berechnung der Transformationsmatrix brauche.
Allerdings habe ich gerade keine Ahnung, was die Matrix ist, um von der ersten Matrix zur Zweiten zu kommen.
Ich habe ja die Inverse Matrix, um von [mm] R^3 [/mm] nach V zu kommen, und meine zweite Matrix, um von W nach [mm] R^2 [/mm] zu kommen.
Diese muss ich mit einer weiteren Verknüpfen, um von [mm] R^3 [/mm] nach [mm] R^2 [/mm] zu kommen.
Diese aber kenne ich nicht und deswegen weiß ich nicht, wie ich die Aufgabe weiter bearbeiten soll. Ich weiß, wie ich, sofern ich sie habe weiterrechne. Deswegen:
Könnte mir bitte jemand kleinschrittig erklären, wie man auf diese, von mir gesuchte Matrix kommt? Bisher haben wir(studenten) das immer mit "rumtesten, welche Abboldungsmatrix passt" gemacht. Aber gibt es dafür einen analytischen Weg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben: V,W Vektorräume,
> Basis [mm] B_V [/mm] von V: [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> Berechnen sie die Transformationsmatrix von V nach W, wenn
> [mm]f(v_{1})[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ -3}[/mm]
> [mm]f(v_{2})[/mm]
> = [mm]\vektor{-5 \\ 7}[/mm]
> [mm]f(v_{3})[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -4}[/mm]
> Ich habe das Bild von dem Kommutierenden
> Diagramm, wie man diese Transformationsmatrix berechnet vor
> mir.
>
> Ich weiß, dass ich die inverse Matrix zu
> [mm]\pmat{ 1 & -1 &1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 }[/mm]
> brauche.
Hallo,
das ist die Matrix [mm] _{S_3}M_{B_V}(id), [/mm] welche Vektoren, die in Koordinaten bzgl [mm] B_V [/mm] gegeben sind, in solche bzgl. der Standardbasis [mm] S_3 [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] umwandelt.
> Diese habe ich schon berechnet und überprüft. Sie
> lautet:
> [mm]\pmat{ 0,5 & 0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & -1 \\ 1 & 0 & -1}.[/mm]
Das ist die Matrix [mm] _{B_V}M_{S_3}(id), [/mm] welche Vektoren, die in Koordinaten bzgl [mm] S_3 [/mm] gegeben sind, in solche bzgl. der Basis [mm] B_V [/mm] umwandelt.
>
> Desweiteren habe ich schon die Matrix
> [mm]\pmat{ 3 & -5 & 2 \\ -3 & 7 & -4},[/mm]
> die ich ja auch noch
> zur Berechnung der Transformationsmatrix brauche.
Das ist die Matrix [mm] _{S_2}M_{B_V}(f), [/mm] welche für Vektoren, die in Koordinaten bzgl. [mm] B_V [/mm] gegeben sind, das Bild unter der Abbildung f bzgl. der Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] liefert.
Die Formulierung der Aufgabe ist irgendwie seltsam.
Ich nehme mal an, daß Du die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] sagen sollst,
also [mm] _{S_2}M_{S_3}(f).
[/mm]
Du bekommst sie so:
[mm] _{S_2}M_{S_3}(f)= _{S_2}M_{B_V}(f)*_{B_V}M_{S_3}(id).
[/mm]
Die rechte Matrix wandelt Vektoren, die bzgl der Standardbasis [mm] S_3 [/mm] sind, in solche bzgl. [mm] B_V [/mm] um,
die linke Matrix berechnet deren Bild in Koordinaten bzgl [mm] S_2.
[/mm]
Isgesamt also erhält man die Bilder von Vektoren bzgl. [mm] S_3 [/mm] in Koordinaten bzgl. [mm] S_2.
[/mm]
LG Angela
>
> Allerdings habe ich gerade keine Ahnung, was die Matrix
> ist, um von der ersten Matrix zur Zweiten zu kommen.
>
> Ich habe ja die Inverse Matrix, um von [mm]R^3[/mm] nach V zu
> kommen, und meine zweite Matrix, um von W nach [mm]R^2[/mm] zu
> kommen.
>
> Diese muss ich mit einer weiteren Verknüpfen, um von [mm]R^3[/mm]
> nach [mm]R^2[/mm] zu kommen.
> Diese aber kenne ich nicht und deswegen weiß ich nicht,
> wie ich die Aufgabe weiter bearbeiten soll. Ich weiß, wie
> ich, sofern ich sie habe weiterrechne. Deswegen:
> Könnte mir bitte jemand kleinschrittig erklären, wie man
> auf diese, von mir gesuchte Matrix kommt? Bisher haben
> wir(studenten) das immer mit "rumtesten, welche
> Abboldungsmatrix passt" gemacht. Aber gibt es dafür einen
> analytischen Weg?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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