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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Mo 27.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Was ist eigentlich die Kernaussage der Transformationsformel für Integrale?
Also was genau "bringt" mir diese Formel?
Vielen Dank für eine Antwort!!
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> Was ist eigentlich die Kernaussage der
> Transformationsformel für Integrale?
Hallo,
wie geht die Formel denn?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Di 28.06.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Holger
auf diese kurze Frage gibt es natürlich auch nur eine ganz kurze Antwort.
Ganz kurz gesagt, ist der Vorteil, dass die Gebiete, über die integriert wird, nicht in Quader eingeteilt werden, sondern in andere Raumteile. Dadurch werden vorwiegend die Integrationsgrenzen wesentlich vereinfacht.
Ich wills an einem 2-dimensionalen Beispiel kurz skizzieren. Du selber wirst das dann schon auf mehr Dimensionen anwenden können, zum Beispiel, wenn du das Trägheitsmoment einer Kugel zu berechnen hast, oder Aehnliches.
Also: stell dir vor, du willst die Fläche eines Kreises mit Radius R berechnen. Dazu integrierst du die Funktion $z=1_$ über der Kreisfläche, also etwa so:
[mm] $\integral_{-R}^{ R} \integral_{-\wurzel{R^2-x^2}}^{+\wurzel{R^2-x^2}} [/mm] {1 dy dx}$
Dein Gebiet wird also in senkrechte Streifen eingeteilt, die unten und oben durch die Kreislinie begrenzt werden.
Mit der Translationsformel gelingt es ganz sauber, den Kreis anders aufzuteilen: er wird in ganz schmale konzentrische Ringe aufgeteilt. Diese Ringe werden dann quasi abgerollt, herausgebogen, bis sie senkrecht über dem Radius auf der x-Achse stehen und zusammen ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Die Grundlinie des Dreiecks (eine Kathete) ist dann R, die andere Kathete hat die Länge [mm] $2\pi [/mm] R$. Die Fläche des Dreiecks berechnet sich dann ganz einfach zu [mm] $\pi R^2$, [/mm] was ganz offensichtlich dem Kreisinhalt entspricht.
Ohne dieses Abrollen kannst du auch (zusätzlich zu den Ringen) vom Kreismittelpunkt aus Strahlen zeichnen, welche deine konzentrischen Ringe aufteilen. Je mehr solcher Strahlen du zeichnest, und je schmaler deine Kreisringe sind, desto mehr ähneln die Gebietseinteilungen kleinen Rechtecken. Je weiter weg du vom Kreismittelpunkt bist, desto grösser wird aber die entsprechende Fläche eines solchen "Rechteckleins". Das wird dann durch den Korrekturfaktor (die Funktionaldeterminante) ausgeglichen. Beim Uebergang von rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten zum Beispiel ist dieser Korrekturfaktor einfach $r_$. Du integrierst also nicht die Funktion $1_$ sondern die Funktion $r_$.
Das sieht dann etwa so aus:
[mm] $\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R} [/mm] {r dr [mm] d\varphi}$
[/mm]
Du siehst in diesem Beispiel auch, dass das Auffinden einer Stammfunktion ohne Transformation recht schwierig sein kann, mit Zuhilfenahme der Transformationsformel erscheint das aber kinderleicht! 
Mit vielen Grüssen
Paul
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