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| Aufgabe | X ist Exp-Verteilt (mit [mm] \lambda [/mm] > 0)
berechne EW & Var von:
i)
[mm] Z_1 [/mm] = e^(-X)
ii)
[mm] Z_2 [/mm] = 2X |
Hier ist die ii recht einfach zu lösen:
[mm] E(Z_2) [/mm] = E(2X) = 2 E(X) = [mm] 2/\lambda
[/mm]
[mm] E((Z_2)^2) [/mm] = [mm] E((2X)^2) [/mm] = 4 [mm] E(X^2).
[/mm]
[mm] 1/\lambda^2 [/mm] = Var(X) = [mm] E(X^2)-E(X)^2
[/mm]
<=> [mm] E(X^2) [/mm] = [mm] 1/\lambda^2 [/mm] + [mm] E(X)^2 [/mm] = [mm] 2/\lambda^2
[/mm]
Also [mm] E((Z_2)^2) [/mm] = [mm] 8/\lambda^2
[/mm]
Var [mm] (Z_2) [/mm] = [mm] E(Z_2^2)-E(Z_2)^2 [/mm] = [mm] 8/\lambda^2 [/mm] - [mm] 4/\lambda^2 [/mm] = [mm] 4/\lambda^2
[/mm]
jedoch die i bereitet mir Kopfzerbrechen.
Da man mit der Linearität des EWs hier wohl wenig nützt, rechne ich über die Verteilungsfkt die Dichte aus:
[mm] $F_Z_1(t) [/mm] = P (Exp(-x) <=t) = P (-x <=ln(t)) = 1-P (x <=-ln(t))$ [mm] |F_X(t) [/mm] einsetzen
$= [mm] 1-[1-Exp(-\lambda [/mm] * -ln(t))] = [mm] Exp(ln(t))^\lambda [/mm] = [mm] t^\lambda$
[/mm]
somit ist [mm] $f_z_1(t) [/mm] = 1/lambda * [mm] t^{\lambda-1}$
[/mm]
Berechne ich aber nun den Erwartungswert mit dem vollständigen Integral
t * [mm] f_z_1(t), [/mm] so ist das vollst. Integral von [mm] t^\lambda [/mm] zu bestimmen, aber [mm] t^\lambda [/mm] wächst ja unbeschränkt ?!
Anm: Musste 3 mal Exp statt e hoch verwenden, das wurde irgendwie vermurkst angezeigt?!
Ich habe diese Frage inzwischen auf hier gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=438089
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi wwf,
also bei die ii) ist bisschen anstrengend zu lesen. Die Idee, über die Dichte zu gehen, ist jedenfalls gut, es sieht aber so aus, als ob du einen schwierigeren Weg wählst, wenn du die Dichte von [mm] g(X)=e^{-X} [/mm] ausrechnen willst. Ich schlage eine Abkürzung vor:
Es gilt ja hier, da [mm] X\sim Exp(\lambda):E(X)=\integral_{0}^{\infty}{x*f(x) dx}. [/mm] Und f(x) ist die Dichte, die kann man ja nachlesen (zB Wikipedia)
Aus dem Transformationssatz für Integrale (den habt ihr bestimmt schon gehabt) erhält man die Formel für den ![[]](/images/popup.gif) Erwartungswert von Funktionen von ZVen. [mm] E(g(X))=\integral_{0}^{\infty}{g(x)*f(x) dx}. [/mm]
Und hier ist [mm] g(x)=e^{-x} [/mm] und jetzt musst du eigentlich nur noch einsetzen.
Bei deinem Rechenweg hast du glaube ich nicht bedacht (ist wichtig später beim Integrieren), dass beim Einsetzten von [mm] $F_X(t)=1-e^{-\lambda t}$ [/mm] nur für [mm] $t\ge [/mm] 0$ gilt.
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Fr 10.12.2010 | | Autor: | wwfsdfsdf2 |
ja, mit dem Einsetzen hast du Recht, dass ist ja nur für x >= 0 korrekt.
einen "Transformationssatz" finde ich im Skript nicht, aber Mathe-Skripts lassen sich auch immer so schwer durchsuchen, ich blätter noch mal durch - mal das beste hoffen. Damit wäre ii natürlich noch fixer gewesen :)
Welche Stelle ist genau schwierig zu lesen, dann kann ich da noch was ändern?!
edit:
Nein, nicht auffindbar - und nun?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Walde |
Ich meinte nur die Formatierung. Statt <= ist [mm] \le [/mm] oder statt $lambda$ ist [mm] \lambda [/mm] natürlich angenehmer fürs Auge. Und darauf achten, dass Exponenten, wenn sie mehr als ein Zeichen haben, in geschweifte Klammern gesetzt werden müssen. Es gibt ja einen Vorschau Knopf, den man vor jedem Senden mal drücken sollte. Ok, genug gemäkelt 
Ansonsten kann ich dir berichten, dass dein Ansatz über die Dichte von [mm] e^{-X} [/mm] auch zum gewünschten Ergebnis für den Erwartungswert [mm] (\bruch{\lambda}{\lambda+1}) [/mm] führt. Habs mal durchgerechnet.
LG walde
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hmm, aber wie bekomme ich die Dichte, dass ist ja die Frage.
wenn ich das Integral einfach auf den gültigen Bereich 0,1 einschränke, so müsste das
[mm] 1-[F_X(1)-F_x(0)]
[/mm]
da [mm] F_X [/mm] = [mm] 1-e^{-\lambda * x}
[/mm]
[mm] 1-[1-e^{-\lambda * 1}]+[1-e^{-\lambda * 0}]
[/mm]
= [mm] 1-[1-e^{-\lambda}]+[1-e^{0}]
[/mm]
= [mm] 1-[1-e^{-\lambda}]
[/mm]
[mm] =e^{-\lambda}
[/mm]
damit wäre die Dichte aber 1 auf dem Intervall 0<=t<=1 und damit in den erwartungswerten und der Varianz kein [mm] \lambda [/mm] mehr enthalten?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Walde |
Morgen wwf,
Nee, so nicht.
In deinem Eröffnungsartikel, wenn du an der Stelle [mm] 1-P(X\le-\ln(t))=1-F_X(-\ln(t)) [/mm] einsetzen willst, musst du die Fallunterscheidung [mm] -\ln(t)\ge 0($\gdw 0
Lg walde
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