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| Aufgabe | | Sei $X$ eine exponentiell verteile Zufallsvariable und [mm] $\epsilon$ [/mm] eine von $X$ unabhängige Zufallsvariable mit [mm] $P(\epsilon=-1)=P(\epsilon=1)=\bruch{1}{2}$. [/mm] Bestimme die Verteilung von [mm] $Z:=\epsilon [/mm] X$. |
Hallo nochmal an alle Forumsteilnehmer,
bin auf die obige Aufgabe gestoßen und ahbe keinen Schimmer, wie ich vorzugehen habe.
Was ich weiss: Die Dichte $f(x)$ ist gegeben durch [mm] $f_X (x)=\lambda e^{-\lambda x} 1_{[0,\infty)}(x)$ [/mm] und entsprechend $P(X [mm] \le t)=F(t)=\lambda \int_{0}^{t} e^{-\lambda x} [/mm] dx$.
Ebenfalls weiss ich: $z=u(x)= [mm] \epsilon [/mm] x$ und somit [mm] $u^{-1} [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] x$ und [mm] $\bruch{d}{dx} u^{-1} [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{\epsilon}$.
[/mm]
Somit würde sich mit der Transformationsformel ergeben: [mm] f_Z (z)=f_X (u^{-1} [/mm] (z)) [mm] |\bruch{d}{dz}u^{-1} [/mm] (z)| = [mm] \bruch{\lambda}{\epsilon} e^{-\bruch{\lambda}{\epsilon} z}.
[/mm]
So schön so gut, nur - sollte das tatsächlich die Lösung sein - wofür brauche ich denn dann noch die Angaben [mm] $P(\epsilon=-1)=P(\epsilon=1)=\bruch{1}{2}$ [/mm] ?
Ich werde einfach aus der Aufgabe nicht schlau. Zudem irritiert mich in [mm] $P(\epsilon=-1)=P(\epsilon=1)=\bruch{1}{2}$ [/mm] das Gleichheitszeichen, denn bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion sucht man ja immer nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich einer bestimmten Grenze annmimmt und eben nicht, dass sie einen Wert exakt annimmt. Zumal ja für Zufallsvariablen mit überall stetig differenzierbaren Dichten $f(x)$ stets gilt $P(X=x)=0$.
Wer kann mir weiterhelfen?
Vielen Dank, Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 23.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Matthias,
du hast hier zwei Zufallsexperimente, die zu $Z$ fuehren: Im ersten realisiert sich $X$ (z.B. eine Wartezeit an einem Schalter) im zweiten realisiert sich unabhaengig davon [mm] $\epsilon$ [/mm] (z.B. ein Wuenzwurf). Mithin nimmt $Z$ im Gegensatz zu $X$ sowohl positive als auch negative Werte $z$ annehmen. So nimmt $Z$ den Wert $-x$ bzw. $+x$ an, wenn sich [mm] $(X,\epsilon)=(x,-1)$ [/mm] bzw. [mm] $(X,\epsilon)=(x,+1)$ [/mm] realisiert.
Um die Verteilung von $Z$ bestimmen zu koennen, kann man wie folgt argumentieren: Fuer [mm] $z\in\IR$ [/mm] ist
[mm] \begin{matrix}
P(Z\le z)&=&P((\epsilon=-1)\cap(Z\le z))+P((\epsilon=+1)\cap(Z\le z))\\
&=&P(Z\le z \mid \epsilon=-1)P(\epsilon=-1)+P(Z\le z \mid\epsilo=+1)P(\epsilon=+1)\\
&=&P(Z\le z \mid \epsilon=-1)\frac{1}{2}+P(Z\le z\mid\epsilo=+1)\frac{1}{2}
\end{matrix}
[/mm]
Mache ich Gebrauch von [mm] $P(X\le x)=1-\lambda\exp[ -\lambda [/mm] x]$ fuer [mm] $x\ge [/mm] 0$, so erhalte ich [mm] $P(Z\le z)=\exp[\lambda [/mm] z]/2$ fuer $z<0$ und [mm] $P(Z\le z)=(1-\exp[-\lambda [/mm] z])/2$ fuer [mm] $z\ge [/mm] 0$. Es handelt sich um eine Laplace-Verteilung, siehe z.B hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Verteilung
hth
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