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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:24 Sa 10.09.2011 | | Autor: | moffeltoff |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie die zu den Abbildungen φ und ψ gehörigen Matrizen bezüglich der Standard-basis und bezüglich der Basis A.
b) Prüfen Sie beide Abbildungen mit Hilfe der Determinante auf Invertierbarkeit.
c) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift analog zu den Darstellungen für φ und ψ oben fürdie Umkehrabbildung φ^−1.
d) Bestimmen Sie die Matrix bezüglich der Standardbasis für die Abbildung φ−1 ◦ ψ ◦ φ
[mm] A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Die Transformationsmatrizen zu den Abbildung bzgl. B sind
[mm] \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 7 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] für φ und [mm] \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] für ψ |
Hallo,
ich hab erneut eine Frage zum Verständnis.
Mir geht es erst einmal um Aufgabenteil a) wie ich die Abbildungen bezüglich der Standardbasis berechne ist mir klar und in der Theorie auch wie ich die Abbildung bezüglich A berechne, aber was mir nicht klar ist warum ich annehmen darf, dass die Transformationsmatrix, die bei Abbildung der Standardbasis auf die Basis A verwendet wird auch im auf die durch die linearen Abbildungen erzugten neuen Basen B und A angewendet werden darf?
Liegt es daran, dass wenn ich den durch die beiden Matrizen jeweils aufgespannten Raum beide in der gleichen Art verändere z.b. "drehe" das Verhältnis immer erhalten bleibt und wenn ja warum ist das so?
Mfg
moffeltoff
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> a) Berechnen Sie die zu den Abbildungen φ und ψ
> gehörigen Matrizen bezüglich der Standard-basis und
> bezüglich der Basis A.
> b) Prüfen Sie beide Abbildungen mit Hilfe der
> Determinante auf Invertierbarkeit.
> c) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift analog zu den
> Darstellungen für φ und ψ oben fürdie Umkehrabbildung
> φ^−1.
> d) Bestimmen Sie die Matrix bezüglich der Standardbasis
> für die Abbildung φ−1 ◦ ψ ◦ φ
>
> [mm]A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Die Transformationsmatrizen zu den Abbildung bzgl. B sind
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\
7 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> für φ und [mm]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> für ψ
Hallo,
> aber was mir nicht klar ist warum
> ich annehmen darf, dass die Transformationsmatrix, die bei
> Abbildung der Standardbasis auf die Basis A verwendet wird
> auch im auf die durch die linearen Abbildungen erzugten
> neuen Basen B und A angewendet werden darf?
Ich begreife einfach nicht, was Du damit sagen willst.
Was meinst Du mit "Basen, die durch die Abbildungen erzeugt werden"?
Eventuell zeigst Du mal, was Du bisher getan hast (und formulierst dabei, was was sein soll) und die Stelle, an der es Probleme gibt.
Der Passus ab "A= " bis "für ψ" stand im Originaltext sicher auch etwas anders, und es wäre sicher kein Fehler zu verraten, aus welchen Vektoren die Basis B besteht.
Gruß v. Angela
> Liegt es daran, dass wenn ich den durch die beiden
> Matrizen jeweils aufgespannten Raum beide in der gleichen
> Art verändere z.b. "drehe" das Verhältnis immer erhalten
> bleibt und wenn ja warum ist das so?
>
> Mfg
>
> moffeltoff
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Hey,
entschuldigung wenn ich mich falsch oder unverständlich ausdrücke es geschieht nicht mit Vorsatz.
> Ich begreife einfach nicht, was Du damit sagen willst.
> Was meinst Du mit "Basen, die durch die Abbildungen
> erzeugt werden"?
>
> Eventuell zeigst Du mal, was Du bisher getan hast (und
> formulierst dabei, was was sein soll) und die Stelle, an
> der es Probleme gibt.
Es gibt bei der Aufgabe an der stelle Probleme wenn ich die Matrix für die linearen Abbildungen finden soll.
Den Weg den ich mit den Transformationsmatrizen gehen muss kenne ich, aber was mir nicht klar ist wieso ich davon ausgehen kann, dass A und B immernoch im gleicen Verhältnis stehen, also die gleichen Transformationsmatrizen angewandt werden können, wenn ich die linearen Abbildungen auf sie oder vermutlich eher auf einen Vektor der eine Linearkombination aus A oder B ist anwende.
>
> Der Passus ab "A= " bis "für ψ" stand im Originaltext
> sicher auch etwas anders, und es wäre sicher kein Fehler
> zu verraten, aus welchen Vektoren die Basis B besteht.
>
> Gruß v. Angela
>
Basis B soll die Standardbasis sein also [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
[/mm]
ψ und φ sind beides lieare Abbildungen und die beiden Matrizen die ich angegeben habe sind die Matrizen, die sich ergeben, wenn man jeweils die Vektoren der Basis B einsetzt.
φ: [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} x-2y \\ 7x+z \\ x+y+z \end{pmatrix}
[/mm]
ψ: [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} x-y \\ y-x \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich hoffe ich hab mich verständlicher ausgedrückt.
Mfg
Moffeltoff
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> Es gibt bei der Aufgabe an der stelle Probleme wenn ich die
> Matrix für die linearen Abbildungen finden soll.
> Den Weg den ich mit den Transformationsmatrizen gehen muss
> kenne ich, aber was mir nicht klar ist wieso ich davon
> ausgehen kann, dass A und B immernoch im gleicen
> Verhältnis stehen, also die gleichen
> Transformationsmatrizen angewandt werden können, wenn ich
> die linearen Abbildungen auf sie oder vermutlich eher auf
> einen Vektor der eine Linearkombination aus A oder B ist
> anwende.
>>> $ [mm] A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} [/mm] $
> Basis B soll die Standardbasis sein also [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> ψ und φ sind beides lieare Abbildungen und die beiden
> Matrizen die ich angegeben habe sind die Matrizen, die sich
> ergeben, wenn man jeweils die Vektoren der Basis B
> einsetzt.
>
> φ: [mm]\begin{pmatrix} x \\
y \\
z \end{pmatrix}[/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} x-2y \\
7x+z \\
x+y+z \end{pmatrix}[/mm]
>
> ψ: [mm]\begin{pmatrix} x \\
y \\
z \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} x-y \\
y-x \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
ich hab' das schon von vielen so gelesen, es ist ziemlicher Unfug zu sagen, daß die Matrix [mm] A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} [/mm] $ eine Basis ist.
Die Basis, um die es sich hier dreht, ist die Basis [mm] A:=(\vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\-1\\1}, \vektor{0\\1\\-1}), [/mm] und B ist die Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Möglicherweise ist Dir nicht ganz klar, was Basistransformationsmatrizen sind.
Basistransformationsmatrizen verwandeln Vektoren, die als Koordinatenvektoren bzgl. einer Basis gegeben sind, in Koordinatenvektoren bzgl einer anderen Basis.
Der Vektor als solcher bleibt gleich, er wird bloß bzgl einer anderen Basis dargestellt.
Diese Basistransformationsmatrizen haben mit den linearen Abbildungen [mm] \varphi [/mm] und [mm] \Psi [/mm] zunächst nichts weiter zu tun.
Es ist (in "meiner" Schreibweise) die Basistransformationsmatrix [mm] _BM(id)_A [/mm] die Matrix, welche vektoren, die in Koordinaten bzgl A gegeben sind, in solche bzgl B verwandelt.
In Deiner Aufgabe ist [mm] _BM(id)_A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
[/mm]
(In ihren Spalten stehen die Basisvektoren von A in Koordinaten bzgl B.)
Die Transformationsmatrix [mm] _AM(id)_B [/mm] verwandelt Vektoren in Koordinaten bzgl B in solche bzgl A, und es ist [mm] _AM(id)_B=(_BM(id)_A)^{-1}.
[/mm]
Ich betone nochmal: diese Matrizen verändern nicht die Vektoren, sondern sie liefern nur ihre Darstellung bzgl einer anderen Basis.
Wenn ich wissen will, wie der Vektor [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] in Koordinaten bzgl B lautet, dann rechne ich
[mm] _BM(id)_A*\vektor{1\\2\\3}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}*\vektor{1\\2\\3}= [/mm] ...
So, nun zu den linearen Abbildungen.
Es ist
[mm] _BM(\varphi)_B= \begin{pmatrix} 1&-2&0 \\ 7&0&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix} [/mm]
die Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl der Standardbasis B.
Das hattest Du zwar nicht hübsch formuliert, aber richtig herausgefunden.
Wenn Du sie mit einem Vektor in Standaradkoordinaten fütterst, liefert sie sein Bild unter [mm] \varphi, [/mm] und zwar ebenfalls in Standardkoordinaten.
Nun sucht man die Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl A.
Diese Matrix soll mit Vektoren bzgl A gefüttert werden, und sein Bild unter [mm] \varphi [/mm] liefern, und zwar ebenfalls in Koordinaten bzgl A.
[mm] _BM(\varphi)_B [/mm] darf man nicht mit Koordinatenvektoren bzgl A füttern, denn sie kann solche nicht verdauen.
Der Koordinatenvektor bzgl A muß zuerst mit [mm] _BM(id)_A [/mm] in einen solchen bzgl B verwandelt werden. Dann kann [mm] _BM(\varphi)_B [/mm] ihn fressen.
Wir haben bisher [mm] _BM(\varphi)_B*_BM(id)_A (=_BM(\varphi)_A).
[/mm]
Diese Matrix frißt Vektoren bzgl A und gibt ihr Bild unter [mm] \varphi [/mm] in Koorinaten bzgl B. Da wir das Bild aber in Koordinaten bzgl A haben möchten, müssen wir noch die entsprechende Transformationsmatrix hinterschalten und kommen zu [mm] _AM(id)_B*_BM(\varphi)_B*_BM(id)_A =_AM(\varphi)A. [/mm] Diese Matrix willst Du haben.
Ich hoffe, daß die Angelegenheit ein wenig klarer geworden ist - und daß meine selbsterklärende Schreibweise wirklich selbsterklärend ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 So 11.09.2011 | | Autor: | moffeltoff |
Hey angela,
ja das hat in jedem Falle sehr geholfen und ich werde mich bemühen in Zukunft die richtige Ausdrucks- und Schreibweise zu verwenden.
Wirklich vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast das so ausführlich zu erklären.
Das war sehr nett von dir und nochma vielen Dank. =)
Mfg
moffeltoff
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