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| Aufgabe | Beim Trampen hält an einer Raststätte ca. jedes fünfzigste Auto an. Der Verkehrsfluß sei sehr gleichmäßig und betrage 30 Autos pro Stunde.
a) Wie lange werden Sie durchschnittlich warten?
b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit warten Sie länger als zwei Stunden?
c)Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind Sie bereits nach 15 Minuten weg? |
Hallo,
und nochmal ich :)
Ehrlich gesagt weiß ich hier gar nicht was ich mache soll. Ich muss wahrscheinlich irgendein Verfahren wählen um die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen.
War die letzten Vorlesungen leider nicht da und bin etwas überfordert.
Wäre für Hilfe sehr dankbar.
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> Beim Trampen hält an einer Raststätte ca. jedes
> fünfzigste Auto an. Der Verkehrsfluß sei sehr
> gleichmäßig und betrage 30 Autos pro Stunde.
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> a) Wie lange werden Sie durchschnittlich warten?
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> b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit warten Sie länger als
> zwei Stunden?
>
> c)Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind Sie bereits nach 15
> Minuten weg?
> Hallo,
>
> und nochmal ich :)
>
> Ehrlich gesagt weiß ich hier gar nicht was ich machen soll.
> Ich muss wahrscheinlich irgendein Verfahren wählen um die
> Wahrscheinlichkeiten auszurechnen.
Hallo Achilles,
die Rechnung mit der Zeit kann man wohl an den Schluss
verschieben und zuerst einfach annehmen, dass da der
Reihe nach Autos vorbeifahren, von welchen jedes mit
der Wahrscheinlichkeit [mm] p=\frac{1}{50} [/mm] anhält und den Tramper
mitnimmt (falls er überhaupt noch da steht). Zunächst
sollte man sich also mit der Wahrscheinlichkeit
[mm] P_n [/mm] = P(das erste Auto, das anhält, ist das n-te Auto)
beschäftigen. In Aufgabe a ist dann zunächst der Erwartungs-
wert der Zufallsvariablen n (für das erste anhaltende Auto)
zu ermitteln.
Ich hoffe, dass dies mal als Starthilfe genügen könnte.
LG Al-Chw.
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Hey Al-Chw.,
ist der Erwartungswert für das n dann [mm] \bruch{30}{50}?
[/mm]
Also 0,6. Mit dem Wert kann ich allerdings nicht viel anfangen. Jedes 60. Auto hält an oder so ähnlich?
Bin mir da sehr unsicher.
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Hallo Achilles2084,
> ist der Erwartungswert für das n dann [mm]\bruch{30}{50}?[/mm]
Nein.
Ich gebe dir noch einen heißen Tipp :
Die Wahrscheinlichkeit [mm] P_n [/mm] gehört zur Zähldichte einer geometrischen Verteilung.
LG
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Hey,
heut hast du mich aber ganz schön an der Backe :)
Hab jetzt mal bei Wiki geguckt.
Unser P ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass das n-te Auto stehen bleibt.
Geometrische Verteilung ist dies [mm] P=(X=n)=p(1-p)^{n-1}
[/mm]
Für p= [mm] \bruch{1}{50} [/mm] also [mm] P=\bruch{1}{50}(1-\bruch{1}{50})^{n-1}
[/mm]
Und jetzt?
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Hallo,
> Geometrische Verteilung ist dies [mm]P=(X=n)=p(1-p)^{n-1}[/mm]
Schreibe besser [mm] P_n=P(X=n)=p(1-p)^{n-1}.
[/mm]
>
> Für p= [mm]\bruch{1}{50}[/mm] also
> [mm]P\blue{(X=n)}=\bruch{1}{50}(1-\bruch{1}{50})^{n-1}[/mm]
>
> Und jetzt?
Den Erwartungswert von X berechnen (wenn Du Wikipedia weiterliest findest Du ganz viele Möglichkeiten dazu.), bzw. vielleicht habt ihr das in der Vorlesung gezeigt. Es gilt [mm] E(X)=\tfrac{1}{p}.
[/mm]
LG
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Hey,
also [mm] E(X)=\bruch{1}{\bruch{1}{50}}=50
[/mm]
Es hält durchschnittlich jedes 50. Auto (wie im Text steht). Da 30 Autos in einer Stunde vorbei fahren (alle 2 min. eines) warte ich 100 min. auf den ersten Wagen.
Ist das nicht etwas zu simpel?
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> Hey,
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> also [mm]E(X)=\bruch{1}{\bruch{1}{50}}=50[/mm]
>
> Es hält durchschnittlich jedes 50. Auto (wie im Text
> steht). Da 30 Autos in einer Stunde vorbei fahren (alle 2
> min. eines) warte ich 100 min. auf den ersten Wagen.
>
> Ist das nicht etwas zu simpel?
Rechne halt nach:
Es ist [mm] P_k [/mm] = P(erstes anhaltendes Auto ist das k-te Auto) = [mm] p*(1-p)^{k-1}
[/mm]
(hier mit [mm] p=\frac{1}{50}) [/mm] .
Nun berechne
$\ E(n)\ =\ [mm] \sum_{k=1}^{\infty}k*P_k$
[/mm]
Dazu brauchst du die Summenformel für geometrische Reihen.
Und: sei doch froh über ein einfaches und irgendwie auch
einleuchtendes Resultat !
LG Al-Chw.
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