Trajektorie < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Do 15.11.2012 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | Aufgabe2 (Phasenportrait, Stabilität)
Betrachten Sie das System
[mm] x(t)'=\alpha*x(t)+(1-\alpha)*y(t)
[/mm]
[mm] y(t)'=(\alpha-1)*x(t)+\alpha*y(t)
[/mm]
wobei [mm] \alpha [/mm] ein reeller Parameter ist. Eine Trajektorie ist eine parametrisierte Kurve [mm] \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) [/mm] in der Ebene, so dass x(t), y(t) das System erfüllen.
a) Skizzieren Sie einige Trajektorien für [mm] \alpha=-1,0,1,2 [/mm] (versehen mit Pfeilspitzen, um die Durchlaufrichtung anzuzeigen).
b) Bestimmen Sie die Bereiche für [mm] \alpha, [/mm] für die
i) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\vec{r}(t)|=0,
[/mm]
ii) [mm] |\vec{r}(t)| [/mm] beschränkt,
iii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\vec{r}(t)|=\infty
[/mm]
ist. Im Fall i) heisst der Gleichgewichtspunkt (0,0) stabil, im Fall ii) asymptotisch stabil und im Fall iii) instabil. |
Also, wir haben im Unterricht ganz einfach das Lösen von gewöhnlichen DGL's 2. und höherer Ordnung behandelt. Auch haben wir Systeme von DGL kurz betrachtet. Nun erhalte ich ein solches Aufgabenblatt und hab keinen Plan was da von mir verlangt wird. In meinen Unterlage ist nirgens von Trajektorie, asymptotischer (In-)Stabilität oder ähnlichem die Rede.
Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Do 15.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze mal eines der [mm] \alpha [/mm] ein und zeichne das Richtungsfeld in der x-y Ebene, dann die Trajektorie
als bonbon das Bild für [mm] \alpha=-1
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Do 22.11.2012 | | Autor: | Bling |
Hi,
Danke für deine Antwort. Jedoch bringt die micht nicht wirklich weiter, denn ich weiss weder was man unter einem Richtungsfeld versteht noch unter Trajektorie...
Ich setze also mal -1 für [mm] \alpha [/mm] ein:
x'=-x+2*y
y'=-2*x-y,
zeichne ein x-y-Koordinaten-System, und weiter? Wie komme ich auf diese kleinen Striche bzw. auf diese geschwungenen Linien? Was sagen die aus?
Wäre äusserst dankbar, wenn du mir da eine etwas genäuere Erklährung abgeben könntest.
Gruss D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 22.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Trajektorie ist eine Lösungskurve von einem anfangswert aus.
in den x-y Szstem yeichnest du als kleine Pfeile die Richtungen y'/x' ein. Am besten für ein festes x nacheinander einige y einsetzen, dann das nächste x. orientier dich an meinem Bild. dann kann man an einem Punkt anfangen und in richtung der Pfeile jeweils zum nächsten kommen, und so eine Trajektorie zeichnen.
Gruss leduart
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