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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 28.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien $X_1,...,X_n$ unabhängig und identisch verteilt.
Bestimme allgemein die Vtlg. der Spannweite $X_{(n)}-X_{(1)}$. |
Hallo und Moin,
Also die Zufallsvariable, für die ich hier die Verteilung bestimmen soll, lautet $S:=X_{(n)}-X_{(1)}$.
Klug wäre es wohl, auf den Dichtetransformationssatz zurückzugreifen, denn ich weiß aus der Vorlesung, die gemeinsame Dichte von $X_{(1)}$ und $X_{(n)}$:
Diese lautet:
$f_{X_{(1)},X_{(n)}}(y_1,y_n)=n(n-1)(F(y_n)-F(y_1))^{n-2}f(y_1)f(y_n)$.
Und wenn ich jetzt $S=T((X_{(1)},X_{(n)}))$ auffasse, könnte ich ja den Transformationssatz nutzen.
Allerdings habe ich das noch nie gemacht und deswegen meine Frage: Wie geht man nun vor? In der Vorlesung nannte sich das immer "Jacobi-Methode", allerdings wurde es nie gezeigt, was man damit eigentlich meint.
\underline{\textbf{Ich denke, ich habe es jetzt selbst hinbekommen, ich schreibe es mal hin:}}
Also, Schritt für Schritt:
Die gemeinsame Dichte von $X_{(1)}$ und $X_{(n)}$ ist (laut Vorlesung):
$f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x_1,x_n)=n(n-1)(F(x_n)-F(x_1))^{n-2}f(x_1)f(x_n)$
Jetzt schau ich mir die Abbildung
$T\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$
$(x_1,x_n)\mapsto T(x_1,x_n)=(\overbrace{x_n-x}^{y:=},\overbrace{x_n}^{x:=})$
an und dann die inverse Abbildung
$T^{-1}\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$
Als nächstes schaue ich mir die Jacobimatrix an sowie die Determinante der Jacobimatrix:
$(y,x)\mapsto (x-y,y)$
$J=\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 1}, \operatorname{det}(J)=-1$
Dann gilt nach dem Transformationssatz:
$f_{X_{(n)}-X_{(1)},X_{(n)}}(x_n-x_1,x_n)=f_{X_{(1)},X_{(n)}(x-y,x)\vert\operatorname{det}(J)\vert$
$=f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x-y,x)=n(n-1)(F(x)-F(x-y))^{n-2}f(x-y)f(x)$
Nun bestimme ich noch die Randdichte:
$f_{X_{(n)}-X_{(1)}}(x_n-x_1)=\int_{-\infty}^{\infty}n(n-1)(F(x)-F(x-y))^{n-2}f(x-y)f(x)\, dx$
So, das ist die gesuchte Dichte, richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Sa 28.04.2012 | | Autor: | mikexx |
![[]](/images/popup.gif) Diese Methode meine ich übrigens.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Sa 28.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Es soll sich ergeben, daß
[mm] $f_{S}(y)=n(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}(F(x)-F(x-y))^{n-2}f(x-y)f(x)\, [/mm] dx$
wobei - wie gesagt -
[mm] $y=y_n-y_1, x=y_n$ [/mm] Transformationen sein sollen.
Ist mir immer noch unklar, aber dazu: s. Frage 1 dieses Threads.
.........................
Mal noch eine weitere Frage zu einem Beispiel.
Dort steht:
[mm] \textbf{Beispiel:}
[/mm]
[mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] seien unabhängige Stichprobenvariablen einer gleichverteilten Grundgesamtheit, dann ist die Dichte der Spannweite gegeben durch
[mm] $f_{S}(y)=\begin{cases}n(n-1)y^{n-2}(1-y), & \text{falls }0\leq y\leq 1\\0, & \text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Wie kommt man darauf mit Hilfe der obigen allgemeinen Formel? Ist hier die stetige Gleichverteilung auf (0,1) gemeint (steht da irgendwie gar nicht)?
Wie kommt man auf die Fallunterscheidung??
Ich sehe das irgendwie gerade nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 So 29.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
hi mikexx
ja hier ist wohl stetige gleichverteilung auf (0,1) gemeint. besser wäre es aber das dazu zuschreiben !!
du fängst also jetzt an mit der allgemeinen formel die du dir ja hergeleitet hast:
[mm] $f_D(y)=n(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}(F(x)-F(x-y))^{n-2}f(x-y)f(x)\, [/mm] dx$
jetzt weißt du ja sicher, dass im falle einer stetigen gleichverteilung über (0,1) für dichte bzw. verteilungsfkt. folgendes gilt:
[mm] $f(x)=\begin{cases}1, & \text{falls }0\leq x\leq 1\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $F(x)=\begin{cases}0, & \text{falls }x<0\\x, & \text{falls }0\leq x\leq 1\\1, & \text{falls }x>1\end{cases}
[/mm]
dann reduziert sich die allgemeine formel also schonmal auf:
[mm] $f_D(y)=n(n-1)\int_{0}^{1}(x-F(x-y))^{n-2}f(x-y)\, [/mm] dx$
(klar wie es weitergeht??)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 So 29.04.2012 | | Autor: | mikexx |
> dann reduziert sich die allgemeine formel also schonmal
> auf:
>
> [mm]f_D(y)=n(n-1)\int_{0}^{1}(x-F(x-y))^{n-2}f(x-y)\, dx[/mm]
>
> (klar wie es weitergeht??)
>
>
Nein, ist mir leider nicht klar.
Kann mir das jemand erklären?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 29.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Kann mir BITTE jemand helfen, es ist sehr wichtig für mich, das zu verstehen.
Also man ist angelangt bei
[mm] $n(n-1)\int_{0}^{1}(x-F(x-y))^{n-2}f(x-y)dx$
[/mm]
richtig?
Wie folgt daraus denn jetzt bloß
[mm] $n(n-1)y^{n-2}(1-y)$ [/mm] für [mm] $0\leq y\leq [/mm] 1$
und 0 sonst?
Ich sehe das einfach nicht!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 So 29.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
hi mikexx
drängeln nützt dir nix !! bitte unterlass' das !!
(aber ich helf dir trotzdem mal... aber lass es bitte in zukunft sein.)
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also nochmal langsam okay?
du nutzt im grunde die ganze zeit immer nur die dichte aus, also das was du darüber weißt (wann sie 1 und wann sie null ist --- GLEICHVERTEILUNG !!)
warum du zuerst mal zu
[mm] $f_D(y)=n(n-1)\int_{0}^{1}(x-F(x,y))^{n-2}f(x-y)\, [/mm] dx$
kommst, ist dir aber klar, oder?
für x werte, die nicht im intervall [0,1] liegen ist die dichte null, verschwinder also das integral
so und jetzt spielst du das ganz wieder durch, diesmal mit f(x-y). die dichte verschwindet, wenn x-y nicht im intervall [0,1] liegt.
spiel es doch einfach mal mit einem konkreten y-wert durch, den du der dichte übergibst:
du übergibst der dichte ja ein y, sagen wir zum beipsiel y=7. dann ist aber auf jeden fall x-y nicht im abgeschlossenen einheitsintervall! das ist nur der fall wenn [mm] $0\leq y\leq [/mm] 1$.
wenn dies der fall ist, dann kannst du aber schreiben:
[mm] $=n(n-1)\int_{y}^{1}(x-(x-y))^{n-2}\, [/mm] dx$ und dies ist nix anderes als
[mm] $n(n-1)y^{n-2}\int_{y}^{1}\, dx=n(n-1)y^{n-2}(1-y)$
[/mm]
schönen sonntag noch
so, jetzt klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Mo 30.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielen Dank, dennis2.
Hat mir sehr weitergeholfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 29.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
s. antwort auf die nächste frage
(da hast du ja exakt das gleiche gefragt, bitte keine solche doppelposts !!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Sa 28.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich denke, ich habe es jetzt doch selbst hinbekommen.
Würde mich freuen, wenn jemand einen Blick drauf wirft.
(Hab es als Edit hinzugefügt.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 29.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
Sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Mo 30.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Dann hab ich's endlich kapiert.
Danke.
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