Trägheitsmoment einer Kugel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo,
also das Trägheitsmoment einer Kugel ist ja [mm] \bruch{2}{5}mR^{2}! [/mm] Bloß, irgendwie komme ich nicht auf dieses Ergebnis. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, hier ist meine Rechnung!
[mm] \Delta J=\delta \Delta Vr^{2}
[/mm]
[mm] \Delta V=\bruch{4}{3}r^{3}\pi-\bruch{4}{3}(r-d)^{3}\pi, [/mm] wobei d<<r
für [mm] (r-d)^{3} [/mm] ergibt sich: [mm] r^{3}-3r^{2}d-2rd^{2}-d^{3} [/mm] und da man alle Ausdrücke mit [mm] d^{2} [/mm] oder größer vernachlässigen kann, kommt man auf [mm] r^{3}-3r^{2}d.
[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm] \Delta V=\bruch{4}{3}(r^{3}-r^{3}+3r^{2}d)\pi=\bruch{4}{3}3r^{2}d\pi
[/mm]
Das Trägheitsmoment ist dann:
[mm] J=\integral_{0}^{R}{\delta \bruch{4}{3}3r^{2}\pi r^{2} dr} [/mm]
[mm] =\bruch{3}{5}\delta \bruch{4}{3}r^{3}\pi r^{2} |^{R}_{0}
[/mm]
und mit [mm] \delta \bruch{4}{3}r^{3}\pi=m [/mm] ergibt sich:
[mm] =\bruch{3}{5}mR^{2}.
[/mm]
Aber das ist falsch!!!
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen....
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mo 09.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Docy
> Hallo,
> also das Trägheitsmoment einer Kugel ist ja
> [mm]\bruch{2}{5}mR^{2}![/mm] Bloß, irgendwie komme ich nicht auf
> dieses Ergebnis. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand
> weiterhelfen könnte, hier ist meine Rechnung!
>
> [mm]\Delta J=\delta \Delta Vr^{2}[/mm]
schon dieser Ansatz ist falsch, denn dieses Volumen hat ja nicht den Abstand r zur Achse der Kugel! Bei einer dünnen Hohlkugel der Masse m gilt nicht [mm] J=m*r^{2} [/mm] weil ja alle Punkte ausser jeweis auf einem Ring verschiedenen Abstand haben.
Am besten, du teilst die Kugeln in dünne Scheiben ein, berechnest erst das Trägheitsmoment einer Scheibe, und integrierst dann über die Scheiben mit abnehmenden oder zunehmenden Radius.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:16 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo leduart,
kannst du mir bitte nochmal erklären, warum der Ansatz [mm] J=mr^{2} [/mm] für die Kugel nicht funktioniert? Wir haben denselben Ansatz auch für Zylinder benutzt [mm] (\Delta J=\delta \Delta Vr^{2})
[/mm]
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 09.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Docy
Das Trägheitsmoment eines Massepunktes ist als [mm] J=m*r^{2} [/mm] definiert.Damit ist dann z.Bsp die Rotationsenergie [mm] $W_{rot}=1/2*J*\omega^{2}=1/2mr^2\omega^{2}=1/2mv^2$ [/mm] die normale Bewegungsenergie eines Massepunktes.
Will man nun das Trägheitsmoment eines Körpers ausrechnen muss man über alle "Massepunkte" summieren, also Summe [mm] m_{i}*r_{i}^{2}. [/mm] Dabei kann man alle Massen, die DENSELBEN Abstand r von der Drehachse haben zusammenfassen, also Alle massen, die im Volumen [mm] \Delta [/mm] V liegen, das den Abstand r von der Drehachse hat. Genauer muss da also stehen [mm] \Delta [/mm] V(r). Beim Zylinder gibt es nun einen ganzen Ring der Dicke d<<R, der den Abstand r hat und das Volumen [mm] 2*\pi*r*d*l [/mm] mit d=dr kann man dann alle diese Ringe aufsummieren.
Bei der Kugel dagegen musst du dir erstmal die Achse etwa vom Nord zum Südpol vorstellen.
im Abstand r von der ACHSE , nicht vom Mittelpunkt kann man sich wieder Zylinder vorstellen, die aber am Äquator ganz kleine Höhen haben, nahe an der Achse fast die Höhe r, diese verschieden hohen Hohlzylinder müsstest du nun aufsummieren. Anderer Weg, du stellst dir die Kugeln aus dünnen Zylinderscheiben vor, deren J kennst du schon und summierst dann vom Äquator bis zum Pol über Scheiben mit dm Radius der Von R bis 0 abnimmt.
Der Radius der einzelnen Scheiben ist dabei [mm] R*cos\phi, [/mm] wenn [mm] \phi [/mm] der Winkel zum Äquator ist, (also auf derErde der Breitenkreis.)
Ich hoff, das ist jetzt klar.sonst frag noch mal
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hi leduart,
yo, jetzt ist alles klar! Ich versuche die Aufgabe dann heute Abend zu lösen und stelle dann meine Rechnung hier rein (zur Korrektur)!
Danke für die tolle Hilfe
Gruß
Docy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo leduart,
kannst du mir hier ein wenig weiterhelfen? Ich habe mir gedacht, ich stelle mir eine Halbkugel vor und unterteile diese in dünne Scheiben (mit der Höhe dr, also im Prinzip winzige Zylinder), dann haben diese Scheiben den Radius von 0 bis R. Also z.B. von dieser Form:
[mm] \Delta J=\delta *\Delta [/mm] V [mm] *r^{2}=\delta *r^{2}*\pi *dr*r^{2}.
[/mm]
Kann man das so machen? Und wie mache ich weiter?
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mi 11.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Docy
> Hallo leduart,
> kannst du mir hier ein wenig weiterhelfen? Ich habe mir
> gedacht, ich stelle mir eine Halbkugel vor und unterteile
> diese in dünne Scheiben (mit der Höhe dr, also im Prinzip
> winzige Zylinder), dann haben diese Scheiben den Radius von
> 0 bis R. Also z.B. von dieser Form:
>
> [mm]\Delta J=\delta *\Delta[/mm] V [mm]*r^{2}=\delta *r^{2}*\pi *dr*r^{2}.[/mm]
Hallo Docy. das mit [mm]\Delta J=\rho*\Delta[/mm] V [mm][mm] *r^{2}
[/mm]
stimmt wirklich nur, wenn [mm] \Delta [/mm] V im Abstand r ist. Auch bei einer Schiebe haben alle Masseteilchen auf den verschiednen Ringen verschiedenen Abstand.
Bei meinem Vorschlag ging ich davon aus, dass du J eines Zylinders= Kreisscheibe schon kennst.Wenn nicht:
für den Zylinder gilt für das Volumen im Abstand r [mm] V(r)=2*\pi*r*dr*h
[/mm]
wenn ich dann alls [mm] V(r)*r^{2} [/mm] von 0 bis R integriere hab ich für den Zylinder :
[mm] J=2*\pi*\rho*h \integral_{0}^{R}{r^{3}*dr }=2*\pi*\rho*h +R^{4}/4
[/mm]
Jetzt kommn die Scheibchen von deiner Halbkugel. mit der Höhe dh und Radien r die von der Höhe abhängen. und zwar ist [mm] r=R*cos\phi [/mm] mit [mm] \phi=0 cos\phi=1 [/mm] am Äquator. du musst also alle [mm] \Delta [/mm] J aufsummieren! die Höhen sind dabei [mm] dh=Rd\phi [/mm] also musst du darüber integrieren.
Ich hoffe jetzt ist es klarer. Du brauchst das doch für die Schule? Wenns Uni ist, erklär ichs lieber mit 3fach Integralen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo leduart,
also wenn ich ne Kugel habe mit einer Achse vom Nord- zum Südpol und die schneide ich dann in der Mitte durch. Wenn ich dann noch die Kugel in Scheiben schneide, dann haben doch alle Punkte auf einer Scheibe den gleichen Abstand von der Achse, oder stelle ich mir das falsch vor???
Ich hätte dann nämlich die Trägheitsmomente aller Scheiben einfach aufsummiert...
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Do 12.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Docy
Dass du die Trägheitsmoment aller Scheiben aufsummieren musst ist richtig.
Aber erst dazu das Trägheitsmoment einer Scheibe kennen oder bestimmen.
Deine zweite Aussage, dass alle Punkte einer Scheibe die gleiche Entfernung von der Achse haben ist einfach falsch! es gibt doch massepunkte direkt neben der Achse und welche ganz aussen auf dem Rand der Scheibe!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo leduart,
man, habe die ganze Zeit an einen Abstand zur Ebene gedacht, obwohl ich wusste, dass ich einen zur Achse brauche (wahrscheinlich, weil ich mich noch auf eine andere Prüfung vorbereite und meine Gedanken woanders waren). Tut mir Leid für die blöden Fragen meinerseits. Ich habe mir jetzt überlegt, wenn ich die Kugel in Zylinder aufteile, die den selben Abstand zur Achse haben und die halt an ihren Ecken die Kugel berühren, dann müsste ich für jeden (Hohl-)Zylinder das Trägheitsmoment ausrechnen und dann alle addieren. Das Problem ist, dass die Zylinder ja außer dem Radius noch die Höhe haben, die sich ja auch noch ändert. Wie kann ich das denn rechnen, vielleicht hast du mir das ja bereits gesagt, aber ich habe deine Rechnung nicht ganz verstanden? Ist übrigens für die Schule, nicht die Uni. Wäre sehr dankbar für jede Hilfe
Nochmal sorry
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 16.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Docy
Warum addierst du nicht die scheiben mit immer kleinerem Radius?
aber natürlich gehen auch Hohlzylinder. Wenn du dir ne Querschnittzeichnung machst, solltest du sehen, dass sie im Abstand r von der Achse die Höhe [mm] h=R*sin\phi [/mm] haben, [mm] \phi [/mm] der Winkel des "Breitengrades" also Äquator 0, Pol 90°
oder [mm] h^2=R^2-r^2. [/mm] und [mm] r=R*cos\phi.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Di 17.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo,
habe noch eine kleine Frage zur Berechnung des Trägheitsmomentes einer Scheibe. Kann ich das so machen:
Für alle Punkte im Abstand r zum Mittelpunkt gilt:
[mm] \Delta m*r^{2}=\delta *2*\pi *r*dr*r^{2}
[/mm]
wobei das [mm] \delta [/mm] die Dichte ist, das dr die Höhe und r der Abstand zum Mittelpunkt.
Und dann das Integral:
[mm] \integral_{0}^{R}{\delta *2*\pi *r*r^{2} dr}
[/mm]
Geht das so?
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 17.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo docy
> habe noch eine kleine Frage zur Berechnung des
> Trägheitsmomentes einer Scheibe. Kann ich das so machen:
>
> Für alle Punkte im Abstand r zum Mittelpunkt gilt:
>
> [mm]\Delta m*r^{2}=\delta *2*\pi *r*dr*r^{2}[/mm]
>
> wobei das [mm]\delta[/mm] die Dichte ist, das dr die Höhe und r der
> Abstand zum Mittelpunkt.
fast richtig, aber dr ist nicht die Höhe, sondern die Dicke des Ringes im Abstand r. es fehlt also noch die Höhe h der Scheibe, also:
richtig ist [mm]\rho m*r^{2}=\rho*h *2*\pi *r*dr*r^{2}[/mm]
Und dann das Integral:
> [mm]h*\integral_{0}^{R}{\delta *2*\pi *r*r^{2} dr}[/mm]
>
> Geht das so?
Fast. du kannst kleine Fehler immer leicht überprüfen: dein Volumen enthielt nur r*dr also [mm] Länge^2, [/mm] Volumen ist aber [mm] Länge^3!
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Di 17.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo leduart,
jetzt ist alles klar, vielen Dank für deine tollen Ratschläge und deine Geduld 
Gruß
Docy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Di 17.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo leduart,
tut mir Leid, ich habe doch noch eine Frage. Wenn ich jetzt das Trägheitsmoment der Kugel berechnen will, dann mache ich es zuerst für eine Halbkugel und multipliziere das Ganze dann mit 2. Für die Halbkugel habe ich mir Folgendes überlegt:
Ich addiere die Trägheitsmomente der Scheiben, also:
[mm] \integral_{0}^{R}{\bruch{1}{4}m*(R^{2}-r^{2}) dr}
[/mm]
R ist der Radius der Kugel! Die Variable r beginnt im Mittelpunkt.
Und wenn ich das Ganze mal 2 nehme, bekomme ich nicht das gewünschte Ergebnis [mm] \bruch{2}{5}mR^{2}. [/mm]
Wo liegt mein Fehler???
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Di 17.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo docy
Der Fehler liegt am m, das ist ja auch von r abhängig. Du musst also das Trägheitsmoment nehmen, wo noch nicht die masse der Scheiben, sondern noch Dichte und Radius und Höhe drin steckt.
Und was ist mit den Hohlzylindern geworden?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Di 17.10.2006 | | Autor: | Docy |
Halli-hallo,
tja, die Hohlzylinder sind als nächstes dran .
Ich habe den Term mal umgeschrieben in:
[mm] 2*\integral_{0}^{R}{\bruch{1}{4}\delta h2\pi \cdot{}(R^{2}-r^{2})^{2} dr}
[/mm]
so, das gilt jetzt für die komplette Kugel. Bloß am Schluß komme ich auf [mm] h*\bruch{2}{5}mR^{2}. [/mm] Was mache ich den mit dem h???
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mi 18.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo docy
wenn du über Scheiben integrierst, ist ihre Höhe doch dr. und welches m soll das sein? Was nimmst du für das Trägheitsmoment der Scheibe?
jetzt hast du im Integral [mm] Länge^6 [/mm] stehen [mm] Länge^2 [/mm] kommt von [mm] r^2 [/mm] des Trägheitsmoments, bleibt [mm] Länge^4 [/mm] fürs Volumen! Dimensionen überprüfen ist in Physik immer wichtig, und hilft viele fehler zu vermeiden!!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo leduart,
stimmt, das h ist gleich dr. Das m ist die Masse der Scheibe, die ja variiert, je nach r. Das ist dann mein Integral:
[mm] 2\cdot{}\integral_{0}^{R}{\bruch{1}{4}\delta 2\pi \cdot{}(R^{2}-r^{2})^{2} dr}
[/mm]
und da kommt nun endlich [mm] \bruch{2}{5}mR^{2} [/mm] raus.
Danke, danke, danke
Gruß
Docy
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