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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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| Aufgabe | Für die Gerade $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb{R}^3$ und eine beschränkte Borel-messbare Menge $K\subseteq \mathbb{R}^3$ heißt
$\Theta_A(K)=\int_K \operatorname{dist}(x, A)^2\,\mathrm{d}\lambda^3 (x)$
das Trägheitsmoment von $K$ bezüglich der Rotationsachse $A$, wobei $\operatorname{dist}(x, U) :=\inf\left\{|x-y|:y\in U\right\}$ für $U\neq \emptyset$.
b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Kugel $K_R=\left\{x\in\mathbb{R}^3:|x|<R\right\}$ bzgl. einer beliebigen Rotationsachse durch den Ursprung.
Hinweis: Verwenden Sie dreidimensionale Polarkoordinaten. |
Hallo zusammen,
ich habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe. Dieses Mal geht es mir allerdings hauptsächlich um "Formalitäten", da ich denke, dass mein Ergebnis an sich richtig ist. Da ich diese spezielle Aufgabe nun diese Woche sowohl auf einem Mathe-Zettel, als auch auf einem Physik-Zettel rechnen muss (allerdings mit (mehr oder weniger) verschiedenen Definitionen zum Trägheitsmoment), ich mir aber nicht diese Schludrigkeit der Physiker aneignen will, bräuchte ich etwas Unterstützung von euch was das formale Aufschreiben der Lösung angeht.
Da kurz vor diesem Zettel n-dimensionale Polarkoordinaten und die Transformationsformel behandelt/bewiesen wurden, sollte wohl vor allem in diesem Bereich alles vernünftig verschriftlicht werden.
Also, zuerst aber mal eine Frage, bevor ich meine Lösung aufschreibe: Wenn dort steht "bzgl. einer beliebigen Rotationsachse durch den Ursprung", heißt das dann in diesem Fall tatsächlich, dass ich mir eine aussuchen kann (wohl eher nicht  ), oder muss ich da argumentieren, dass die Achse egal sein müsste, so lange sie durch den Ursprung geht? Ließe sich da eventuell nochmal mit einer Koordinatentransformation argumentieren? Ich habe jetzt nämlich einfach die Rotationsachse durch die $x_3$-Achse, bzw. z-Achse gelegt:
1. Schritt: Einsetzen, Fubini und Transformation:
$\Theta_A(K_R)=\int_{K_R} \operatorname{dist}(x, A)^2\,\mathrm{d}\lambda^3 (x)=\int_0^R\int_0^\pi\int_0^{2\pi} \operatorname{dist}(x, A)^2\cdot r^2\cdot \sin(\vartheta})\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}r$
Hier habe ich ja jetzt mehrere Schritte gleichzeitig ausgeführt. Könntet ihr mir dabei helfen, die Schritte einzeln zu formulieren, also zuerst die Transformation mit Polarkoordinaten, und dann Fubini (und Lebesgue $\to$ Riemann)? Könnte man einfach $\int_{K_R} \operatorname{dist}(x, A)^2\,\mathrm{d}\lambda^3 (x)=\int_{\Psi_3({K_R})} \operatorname{dist}(x, A)^2\cdot |-r^2\cdot \sin{\vartheta}|\,\mathrm{d}\lambda^3 (r, \varphi,\vartheta)$ schreiben, ohne dass man bspw. $\Psi_3({K_R})$ konkret angibt und es dann im nächsten Schritt einfach "mit Fubini" aufteilen?
2. Schritt: $\operatorname{dist}(x, A)$ bestimmen:
$\operatorname{dist}(x, A)=\inf\left\{\left\lvert (x_1, x_2, x_3)^t-(y_1, y_2, y_3)^t\right\rvert:(y_1,y_2,y_3)^t\in A\right\}=\left\lvert (x_1, x_2, x_3)^t-(0, 0, x_3)^t\right\rvert = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$
Kann ich das so schreiben? Ich habe das Gefühl, ich ignoriere hier das Infimum, aber so müsste es doch richtig sein, oder?
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=r^2\iff x_1^2+x_2^2=r^2-x_3^2 \equiv r^2-r^2\cos^2(\vartheta)=r^2(1-\cos^2(\vartheta))=r^2\sin^2(\vartheta)$
3. Schritt: Einsetzen und Integrieren:
$\int_0^R\int_0^\pi\int_0^{2\pi} \operatorname{dist}(x, A)^2\cdot r^2\cdot\sin(\vartheta})\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}r=\int_0^R\int_0^\pi\int_0^{2\pi} r^2\cdot\sin^2(\vartheta)\cdot r^2\cdot \sin(\vartheta})\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}r=\int_0^\pi \int_0^R 2\pi\cdot r^4\cdot\sin^3(\vartheta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\vartheta=\int_0^\pi \frac{2\pi R^5}{5}\sin^3(\vartheta)\,\mathrm{d}\vartheta=\frac{2\pi R^5}{5}\cdot \int_0^\pi \sin^3(\vartheta)\,\mathrm{d}\vartheta=\frac{2\pi R^5}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{8\pi R^5}{15}$
Ist das so richtig? Wie schreibt man das am besten vernünftig und formal richtig auf?
"Bonusfrage": Wie schreibt man eine Transformation formal richtig auf, wenn man nur 2-dim Polarkoordinaten, also Zylinderkoordinaten benutzt, wenn man obiges für einen Zylinder machen möchte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 12.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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