Totales Differential f(r,phi,z < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:06 Sa 23.11.2013 | | Autor: | maschbauth |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.maschboard.de/board307/67281-totales-differential-f-r-phi-z/]
(ich glaube der Link ist nur für registrierte Nutzer, die eine RWTH E-mail Adresse bestzen zugänglich)
hallo!
ich würde gerne das totale Differential einer Funktion f(r,phi,z) aufstellen!
Das würde ich so machen, ist aber wahrscheinlich falsch...
[mm] df=\frac {\partial f}{\partial t}dt+\frac {\partial f}{\partial r}dr+\frac {\partial f}{\partial \phi}d\phi +\frac {\partial f}{\partial z}dz
[/mm]
[mm] \frac {df}{dt}=\frac {\partial f}{\partial t}+\frac {dr}{dt}\frac {\partial f}{\partial r}+\frac {d\phi}{dt}\frac {\partial f}{\partial \phi}+\frac {dz}{dt}\frac {\partial f}{\partial z}
[/mm]
[mm] \frac {df}{dt}=\frac {\partial f}{\partial t}+u_{r}\frac {\partial f}{\partial r}+u_{\phi}\frac {\partial f}{\partial \phi}+u_{z}\frac {\partial f}{\partial z}
[/mm]
was mache ich falsch? In kartesischen Koordinaten wäre das richtig, bloß dass man ein [mm] u_{x}, u_{y} [/mm] und [mm] u_{z} [/mm] hätte!
D.h.: wie transformiere ich das Problem in Zylinderkoordinaten? mit [mm] x=r*cos(\phi), y=r*sin(\phi) [/mm] und z=z komme ich nicht weiter...
bei einer Impulsgleichung z.B. entsteht aus dem totalen differential des Geschwindigkeitsterms [mm] \frac {d\vec{u}}{dt} [/mm] folgendes: (nicht von mir, uns somit RICHTIG)
[mm] \frac {du_{r}}{dt}=\frac {\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac {\partial u_{r}}{\partial r}+ \frac {u_{\phi}}{r}\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi}+u_{z}\frac {\partial u_{r}}{\partial z} -\frac {u_{\phi}^2}{r}
[/mm]
[mm] \frac {du_{\phi}}{dt}=\frac {\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac {\partial u_{\phi}}{\partial r}+ \frac {u_{\phi}}{r}\frac {\partial u_{\phi}}{\partial \phi}+u_{z}\frac {\partial u_{\phi}}{\partial z} +\frac {u_{r}u_{\phi}}{r}
[/mm]
[mm] \frac {du_{z}}{dt}=\frac {\partial u_{z}}{\partial t}+u_{r}\frac {\partial u_{z}}{\partial r}+ \frac {u_{\phi}}{r}\frac {\partial u_{z}}{\partial \phi}+u_{z}\frac {\partial u_{z}}{\partial z}
[/mm]
wo kommt das 1/r in [mm] \frac {u_{\phi}}{r} [/mm] her?
und woher kommt das [mm] -\frac {u_{\phi}^2}{r} [/mm] sowie [mm] +\frac {u_{r}u_{\phi}}{r} [/mm] ?
Ich studiere kein Mathe, sondern Maschinenbau und wäre sehr dankbar wenn mir ein Mathe-Experte helfen könnte :)
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Sa 21.12.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
kannst Du bitte die komplette Aufgabenstellung posten?
Gruß,
notinX
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Da gibt es keine spezielle Aufgabenstellung... aber von mir aus kann ich selber eine formulieren:
"Leiten sie das totale Differential einer Funktion f in Polarkoordinaten her!"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:23 So 29.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Da gibt es keine spezielle Aufgabenstellung... aber von mir
> aus kann ich selber eine formulieren:
> "Leiten sie das totale Differential einer Funktion f in
> Polarkoordinaten her!"
mir ist bei der Ausgangsfrage vor allem Dein Beispiel mit der Impulsgleichung
nicht ganz klar. Kannst Du ein paar Worte mehr bzgl. der Physik dahinter
verlieren? Aber vor allem sollte erklärt werden, welches physikalische
Wissen zugrundeliegt und was die einzelnen (Funktions-)Symbole dort
bedeuten.
Ansonsten kannst Du Dir erstmal auch direkt
![[]](/images/popup.gif) Wiki, Totales Differential
durchlesen.
Bspw., wenn Du eine Funktion $f=f(x,y)$ hättest, so wäre erst mal das
totale Differential von [mm] $f\,$ [/mm] einfach
[mm] $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\,.$
[/mm]
Jetzt kann man [mm] $(x,y)\,$ [/mm] auch in Polarkoordinaten schreiben:
[mm] $x=r\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $y=r\sin(\phi)\,.$
[/mm]
Dann schreibt man in der Physik oft sowas wie
[mm] $f=f(x,y)=f(r,\phi)\,.$
[/mm]
Eigentlich sollte man das nicht tun, denn in Wahrheit ist doch
[mm] $f=f(x,y)=f(g(r,\phi))=(f \circ g)(r,\phi)$
[/mm]
mit $g [mm] \colon D:=\IR^2 \to Z:=\IR^2$ [/mm] definiert durch
[mm] $g(r,\phi)=(r \cos(\phi), [/mm] r [mm] \sin(\phi))=(g_1(r,\phi),g_2(r,\phi))\,.$
[/mm]
(Später sollte man vielleicht [mm] $D\,$ [/mm] und [mm] $Z\,$ [/mm] "kleiner" wählen...)
Setzen wir nun [mm] $\tilde{f}=f \circ g\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\tilde{f}$ [/mm] eigentlich die Funktion
bzgl. der Polarkoordinaten von [mm] $(x,y)\,.$ [/mm] Es gilt also
[mm] $d\tilde{f}(r,\phi)=\frac{\partial \tilde{f}}{\partial r}dr+\frac{\partial \tilde{f}}{\partial \phi}d\phi.$
[/mm]
Jetzt die Frage an Dich: Wir haben $f [mm] \colon \IR^2 \to \IR$ [/mm] und $g [mm] \colon \IR^2 \to \IR^2$
[/mm]
sowie
[mm] $\tilde{f}=f \circ [/mm] g [mm] \colon \IR^2 \to \IR.$
[/mm]
Du brauchst jetzt sowas wie
[mm] $\frac{\partial \tilde{f}}{\partial r}=\frac{\partial (f \circ g)}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial g_1}\frac{\partial g_1}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial g_2}\frac{\partial g_2}{\partial r}=...$
[/mm]
und analog für
[mm] $\frac{\partial \tilde{f}}{\partial \phi}=...$
[/mm]
Außerdem musst Du
[mm] $dr=dr(x,y)=\frac{\partial r}{\partial x}dx+\frac{\partial r}{\partial y}dy$=...
[/mm]
und auch
[mm] $d\phi=...$
[/mm]
benutzen...
Probier' einfach mal, wie weit Du damit kommst. Ich erinnere mich jedenfalls,
dass ich auf meiner letzten Arbeitsstelle mal den Gradienten einer Funktion
$f=f(x,y)$ brauchte, nachdem man [mm] $f\,$ [/mm] in Polarkoordinaten transformiert hatte.
Das erste Problem, was ich hatte: Es wird, weil man sagt, dass die Funktion
sich ja in ihrer physikalischen Bedeutung nicht verändert, einfach auch
[mm] $f(r,\phi)$ [/mm] für die Funktion nach der Transformation geschrieben. In Wahrheit
ist aber die Funktion, die von [mm] $(r,\phi)$ [/mm] abhängt, eine andere, als die, die von
[mm] $(x,y)\,$ [/mm] abhängt - siehe oben:
[mm] $f=f(x,y)\,$ [/mm] und [mm] $\tilde{f}(r,\phi)=(f \circ g)(r,\phi)\,.$
[/mm]
Dabei kann man meinetwegen [mm] $g\,$ [/mm] stärker einschränken:
$g [mm] \colon [0,\infty) \times [0,2\pi) \to \IR^2$
[/mm]
oder wie auch immer...
Die nächste Frage war dann (und sowas macht man sich echt am Besten
einfach an einem Beispiel klar): Was will ich eigentlich?
Will ich (etwa) in
[mm] $\frac{\partial \tilde{f}(r,\phi)}{\partial r}$
[/mm]
hier Terme wie
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}$
[/mm]
einbauen? (Das war so das Vorhaben...)
Und was weiß ich dafür? Unter gewissen Annahmen sowas wie
[mm] $r=r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] und [mm] $\phi=\phi(x,y)=\arctan(y/x)$
[/mm]
bzw.
[mm] $x=r\cos \phi$ [/mm] und $y=r [mm] \sin \phi$
[/mm]
etc. pp..
Ich glaube, dass das eigentlich das Wichtigste hier überhaupt ist - denn
gerade bei solchen Aufgaben verliert man schnell den Überblick - und ich
verliere ihn noch schneller, wenn ich [mm] $f\,$ [/mm] sowohl für [mm] $f=f(x,y)\,$ [/mm] als auch für
die zugehörige Funktion in Polarkoordinaten schreibe...
P.S. Da ich gerade nicht so ganz in diesem Thema drin bin und da ich auch
meinen damaligen Aufschrieb auf die Schnelle nicht finde (ich hatte da mal
eine Latex-Datei erstellt):
Vielleicht hilft Dir aber auch
diese Diskussion hier
Gruß,
Marcel
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