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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 So 25.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | Gebe eine totale Ordnung auf der Menge M der endlichen 0,1-Folgen an:
M = [mm] \bigcup_{n \in \IN} \{0,1\}^{n} [/mm] |
Hi,
ehrlich gesagt verstehe ich die Aufgabe überhaupt nicht. Das fängt schon da an, dass ich die angegebene Menge nicht verstehe. Einserseits ist in der Aufgabenstellung die Rede von "endlichen 0,1-Folgen" andererseits ist dem Vereinigungszeichen doch gar kein Limit gesetzt. Hat mir da irgendwer vielleicht einen Tipp?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Neongelb,
> Gebe eine totale Ordnung auf der Menge M der endlichen
> 0,1-Folgen an:
>
> M = [mm]\bigcup_{n \in \IN} \{0,1\}^{n}[/mm]
>
> Hi,
> ehrlich gesagt verstehe ich die Aufgabe überhaupt nicht.
> Das fängt schon da an, dass ich die angegebene Menge nicht
> verstehe. Einserseits ist in der Aufgabenstellung die Rede
> von "endlichen 0,1-Folgen" andererseits ist dem
> Vereinigungszeichen doch gar kein Limit gesetzt. Hat mir da
> irgendwer vielleicht einen Tipp?
Jedes Element der Vereinigung ist eine Folge der Länge n für ein n, also eine endliche Folge.
Auch eine Folge der Länge [mm] $10^{10^{10}}$ [/mm] ist immer noch endlich, obgleich doch schon ziemlich lang. Aber diese Länge ist winzig verglichen mit der Folge aller natürlichen Zahlen, denn fast alle natürlichen Zahlen sind größer!
Für eine totale Ordnung auf den endlichen Folgen imitiere die Reihenfolge der Stichwörter in einem alphabetisch sortierten Wörterbuch.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 25.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Okay aber dann entsteht doch immer eine Menge, auf der eine n-stellige Relation symmetrisch ist. Jedoch sollte die gesuchte Relation ja antisymmetrisch sein.
z.B für n = 2 dann entsteht doch die Menge M = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}
die Relation [mm] \sim [/mm] besitzt ja dann nicht die gesuchten Eigenschaften.
Oder muss ich meine Relation nun noch so definieren, dass sie genau diese Eigenschaften besitzt?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Okay aber dann entsteht doch immer eine Menge, auf der eine
> n-stellige Relation symmetrisch ist. Jedoch sollte die
> gesuchte Relation ja antisymmetrisch sein.
>
> z.B für n = 2 dann entsteht doch die Menge M = {(0,0),
> (0,1), (1,0), (1,1)}
Nein. So ist das nicht gemeint! Dein M ist nur eine Teilmenge der vorgegebenen Menge, nämlich die aller Nul-Eins-Folgen der Länge 2. Die Elemente unserer Menge sind aber nicht alle gleich lang, sondern nur endlich lang. Sie enthält Elemente wie:
$(0,0,0,0,0), (1), (1, 0, 1, 1, 1, 1)$
also endliche Null-Eins-Folgen, die man auch kürzer schreiben kann als:
00000, 1, 101111.
Und auf der Menge aller endlichen Folgen sollst Du eine totale Ordnung definieren.
>
> die Relation [mm]\sim[/mm] besitzt ja dann nicht die gesuchten
> Eigenschaften.
Natürlich nicht.
> Oder muss ich meine Relation nun noch so definieren, dass
> sie genau diese Eigenschaften besitzt?
Genau!
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 25.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Puh okay. Finde ich gar nicht so einfach. Die Reflexivität geht ja noch. Die Transitivität und Linearität hätte ich jetzt vorausgesetzt indem ich die Relation als [mm] \le [/mm] - Relation definiere, abhängig von der Länge der einzelnen Elemente. Zur Antisymmetrie fällt mir jedoch nichts ein. Gibts da nen kleinen Hinweis? :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Puh okay. Finde ich gar nicht so einfach. Die Reflexivität
> geht ja noch. Die Transitivität und Linearität hätte ich
> jetzt vorausgesetzt indem ich die Relation als [mm]\le[/mm] -
> Relation definiere, abhängig von der Länge der einzelnen
> Elemente. Zur Antisymmetrie fällt mir jedoch nichts ein.
> Gibts da nen kleinen Hinweis? :D
Ja. Du scheinst die Aufgabe nicht richtig zu verstehen. Du sollst Dir eine Relation ausdenken, die eine totale Ordnung ist. Sie ist durch die Menge alleine noch nicht gegeben! Ich hatte Dir schon einen Tip mit dem Wörterbuch gegeben. Oder schau unter "lexikalischer Ordnung" nach.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 So 25.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Das heißt ich definiere eine lexikographische Ordnung auf M?
a und b seien Teilmengen von M.
Die Relation [mm] \sim [/mm] ist eine [mm] \le [/mm] -Relation auf M (partielle Ordnung).
Es gilt 0 < 1.
a [mm] \le [/mm] b wenn ein Element a vor einem Element b liegt.
Dies ist der Fall wenn die erste Stelle k an der sich die Elemente unterscheiden [mm] a_{k} [/mm] = 0 und [mm] b_{k} [/mm] = 1 ist oder wenn a den Anfang von b bildet, jedoch |a| < |b|.
Geht das in die richtige Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Das heißt ich definiere eine lexikographische Ordnung auf
> M?
Genau!
>
> a und b seien Teilmengen von M.
Wieso das jetzt? a und b sind Elemente von M, nicht Teilmengen!
> Die Relation [mm]\sim[/mm] ist eine [mm]\le[/mm] -Relation auf M (partielle
> Ordnung).
Wieso partiell? Wir suchen eine totale Ordnung. Das heißt, Du mußt eine Regel angeben,
nach der ich entscheiden kann, ob etwa $1010 [mm] \le [/mm] 01010$ oder $01010 [mm] \le [/mm] 1010$ ist.
Lexikographisch geordnet ist letzteres der Fall. Schreib Dir weitere Beispiele auf und überlege Dir, welcher der beiden Fälle jeweils vorliegt. Und dann überlege Dir, wie Du das allgemein für beliebige Elemente der Menge formulieren kannst.
Und dann begründe, daß die von Dir festgelegte Relation tatsächlich eine totale Ordnung ist.
> Es gilt 0 < 1.
> a [mm]\le[/mm] b wenn ein Element a vor einem Element b liegt.
>
> Dies ist der Fall wenn die erste Stelle k an der sich die
> Elemente unterscheiden [mm]a_{k}[/mm] = 0 und [mm]b_{k}[/mm] = 1 ist oder
> wenn a den Anfang von b bildet, jedoch |a| < |b|.
>
> Geht das in die richtige Richtung?
Ja!
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Okay das bekomme ich hin :). Vielen Dank!!!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gebe eine totale Ordnung auf der Menge M der endlichen
> 0,1-Folgen an:
>
> M = [mm]\bigcup_{n \in \IN} \{0,1\}^{n}[/mm]
es steckt ja in Wolfgangs Antwort eigentlich schon mit drin, aber vielleicht
nochmal formal, damit's deutlicher wird:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist
[mm] $$\{0,\;1\}^n=\{0,1\}^{\{1,...,n\}}=\{f: \{1,...,n\} \to \{0,\;1\}\}$$
[/mm]
die Menge der Folgen mit [mm] $n\,$ [/mm] Folgegliedern, wobei die Folgeglieder nur
Werte in [mm] $\{0,\;1\}$ [/mm] annehmen.
Beispielsweise wäre
[mm] $$\{0,\;1\}^3=\{f: \{1,\;2,\;3\} \to \{0,1\}\}=\{f_1,...,f_8\}$$
[/mm]
mit
[mm] $$f_k:\{1,\;2,\;3\} \to \{0,1\}\;\;\text{ für alle }k \in \{1,...,8\}$$
[/mm]
und
[mm] $$f_1(1):=0,\;f_1(2):=0,\;f_1(3):=0$$
[/mm]
[mm] $$f_2(1):=1,\;f_2(2):=0,\;f_2(3):=0$$
[/mm]
[mm] $$f_3(1):=0,\;f_3(2):=1,\;f_3(3):=0$$
[/mm]
[mm] $$f_4(1):=0,\;f_4(2):=0,\;f_4(3):=1$$
[/mm]
[mm] $$f_5(1):=1,\;f_5(2):=1,\;f_5(3):=0$$
[/mm]
[mm] $$f_6(1):=1,\;f_6(2):=0,\;f_6(3):=1$$
[/mm]
[mm] $$f_7(1):=0,\;f_7(2):=1,\;f_7(3):=1$$
[/mm]
[mm] $$f_8(1):=1,\;f_8(2):=1,\;f_8(3):=1$$
[/mm]
Und weil man jedes Tripel $(a,b,c)$ mit $a,b,c [mm] \in \{0,1\}$ [/mm] dann mit genau
einer der Abbildungen [mm] $f_k$ [/mm] identifizieren kann, schreibt man etwa nicht
ganz so kurz, aber "prägnanter"
[mm] $$\{0,1\}^3=\{(0,0,0),\;(1,0,0),\;(0,1,0),\;(0,0,1),\;(1,1,0),\;(1,0,1),\;(0,1,1),\;(1,1,1)\}\,.$$
[/mm]
P.S. Insbesondere kannst Du Dir so leicht überlegen:
[mm] $$|\{0,\;1\}^n|=2^n\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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