Totale Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Di 28.05.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] gegeben durch f((x,y))= [mm] \bruch{xy}{(x^2+y^2)^2} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und f(x,y) = 0 für (x,y) = (0,0).
a) Untersuchen Sie F auf totale Differenzierbarkeit in (0,0).
b) Untersuchen Sie F auf partielle Differenzierbarkeit in (0,0). |
Hallo.
Also ich habe einige Unsicherheiten bei der totalen Differenzierbarkeit.
Hier meine bisherigen Ergebnisse:
b) [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t} [/mm] = 0 = [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)
[/mm]
Die partiellen Ableitungen existieren und f ist somit partiell diffbar in (0,0).
a) Wäre f total diffbar in (0,0), ist f diffbar in jeder Richtung. Betrachte nun die Richtung v:= (1,1), dann ist die Richtungsableitung gegeben durch:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,t)-f(0,0)}{t}. [/mm] Aber f(t,t) = [mm] \bruch{t^2}{4t^4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4t^2} \rightarrow \infty [/mm] (t [mm] \to [/mm] 0) (existiert nicht)
Also ist f nicht total diffbar in (0,0).
Ist das so alles in Ordnung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Mi 29.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch f((x,y))=
> [mm]\bruch{xy}{(x^2+y^2)^2}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) und f(x,y)
> = 0 für (x,y) = (0,0).
>
> a) Untersuchen Sie F auf totale Differenzierbarkeit in
> (0,0).
> b) Untersuchen Sie F auf partielle Differenzierbarkeit in
> (0,0).
> Hallo.
>
> Also ich habe einige Unsicherheiten bei der totalen
> Differenzierbarkeit.
>
> Hier meine bisherigen Ergebnisse:
>
> b) [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t}[/mm]
> = 0 = [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)[/mm]
> Die partiellen
> Ableitungen existieren und f ist somit partiell diffbar in
> (0,0).
>
> a) Wäre f total diffbar in (0,0), ist f diffbar in jeder
> Richtung. Betrachte nun die Richtung v:= (1,1), dann ist
> die Richtungsableitung gegeben durch:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,t)-f(0,0)}{t}.[/mm] Aber
> f(t,t) = [mm]\bruch{t^2}{4t^4}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4t^2} \rightarrow \infty[/mm]
> (t [mm]\to[/mm] 0) (existiert nicht)
>
> Also ist f nicht total diffbar in (0,0).
>
> Ist das so alles in Ordnung?
Den Grenzwert [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,t)-f(0,0)}{t}[/mm]
hast Du Dir gar nicht richtig angeschaut.
Was Du gemacht hast: Du hast gezeigt, dass f in (0,0) nicht stetig ist.
Damit ist f in (0,0) auch nicht diffbar.
FRED
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