Totale Ableitung? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Di 18.05.2010 | | Autor: | kicks |
| Aufgabe | Für einen Punkt x [mm] \in \mathbb{R^n} [/mm] setzten wir r(x) = [mm] \|x\|=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}
[/mm]
Sei f eine differnezierbare Funktion einer Variablen und betrachte
[mm] F:\mathbb{R^n} \in [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] f(r(x)) [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
Rechnen sie für x [mm] \neq [/mm] 0 folgenede Gleichungen nach:
a) [mm] \frac{\partial F(x)}{\partial x_i} [/mm] = [mm] \frac{x_i}{r(x)} \cdot [/mm] f'(r(x))
b) [mm] \sum_{t=1}^n \frac{{\partial}^2 F(x)}{\partial x_{i}^2} [/mm] = f''(r(x)) + [mm] \frac{n-1}{r(x)} \cdot [/mm] f'(r(x)) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Ich habe diese Aufgabe heute bekommen. Ich würde sie echt gerne lösen, aber ich weiß einfach nicht um was es geht. Bei unserem Prof scheint die letzten Vorlesungen die Eile ausgebrochen zu sein.
Eigentlich auch egal. Ich verstehe nur Bahnhof.
Ich wäre froh wenn ich vielleicht einen kleinen Ansatz bekäme und eine Überschrift, dass ich etwas in der Hand habe um mich darüber erst einmal schlau zu machen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich wäre froh wenn ich vielleicht einen kleinen Ansatz
> bekäme und eine Überschrift, dass ich etwas in der Hand
> habe um mich darüber erst einmal schlau zu machen.
Partielle Ableitung.
Du sollst F(x)=f(r(x)) partiell nach [mm] $x_i$ [/mm] ableiten.
[mm] $\frac{\partial}{\partial x_i}g(x_1,\ldots,x_n)$ [/mm] heißt, daß Du g nach [mm] $x_i$ [/mm] ableitest und dabei [mm] $x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n$ [/mm] behandelst wie Konstanten.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Di 18.05.2010 | | Autor: | kicks |
Okay,
also rechne ich dann
[mm] \frac{\partial F(x)}{\partial x_i} [/mm] = [mm] \frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}
[/mm]
Weiter soll dann gelten:
[mm] \frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}=\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}\,\cdot$f'(r(x))$
[/mm]
Okay also wie das mit ner partiellen Ableitung geht hab ich glaube ich verstanden, aber wo bitte mach ich nen Denkfehler, dass die gleichung nicht aufgeht? Sonst müsste ja $f'(r(x))$ = 0 sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Di 18.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}[/mm]
Das ist die partielle Ableitung von r(x), nicht f(r(x)).
> Okay also wie das mit ner partiellen Ableitung geht hab ich
> glaube ich verstanden, aber wo bitte mach ich nen
> Denkfehler, dass die gleichung nicht aufgeht? Sonst müsste
Lies Dir in der Angabe durch, wie F definiert ist, bevor Du mit dem Rechnen anfängst. =)
> ja [mm]f'(r(x))[/mm] = 0 sein.
Nein, müßte es definitiv nicht, es müßte 1 sein. =P
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Di 18.05.2010 | | Autor: | kicks |
Okay dann steh ich glaube ich auf dem Schlauch,
[mm] \frac{\partial F(x)}{\partial x_i} \neq $\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}} [/mm] $
Da hab ich dich richtig verstanden oder?
Aber was kann ich dann anders machen? Ich hab ja keine y Richtung oder sonst was, nach was ich noch ableiten könnte.
Mir ist auch etwas unklar, wie ich mit $f(r(x))$ bzw $f'(r(x))$ umgehen muss.
Vielleicht ist es auch gerade einfach nur ein bisschen zu spät für mich.
Bis morgen,
Ich hab immer noch vor es zu verstehen ;)
Lg kicks
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:16 Di 18.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
$F(x) = [mm] f(\wurzel{x_1^2+ ...+x_n^2} [/mm] )$
Wenn wir nach [mm] x_i [/mm] differenzieren erhalten wir:
$ [mm] \frac{\partial F(x)}{\partial x_i} =f'(\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2})*\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}} [/mm] $
FRED
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