Total Unimodulare Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Di 08.11.2011 | | Autor: | Black90 |
| Aufgabe | | Es sei A m [mm] \times [/mm] n Matrix mit vollem Zeilenrang. Zeige dass A genau dann total unimodular ist, wenn (A,I) total unimodular ist. |
Der Beweis von [mm] \Leftarrow [/mm] ist natürlich klar, Schwierigkeiten hab ich bei [mm] \Rightarrow
[/mm]
Denn wenn ich mir z.B [mm] A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\1&1&1\\1&1&2\end{pmatrix} [/mm] anschaue, dann ist A offensichtlich total unimodular.
Aber [mm] (A,I)=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1&1&0&0\\1&1&1&0&1&0\\1&1&2&0&0&1\end{pmatrix} [/mm] ist es nicht, denn wenn ich mir die Teilmatrix [mm] \begin{pmatrix} 1&1&0\\1&0&1\\2&0&0\end{pmatrix} [/mm] anschaue, dann ist die Determinante davon 2.
Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 Di 08.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei A m [mm]\times[/mm] n Matrix mit vollem Zeilenrang. Zeige
> dass A genau dann total unimodular ist, wenn (A,I) total
> unimodular ist.
> Der Beweis von [mm]\Leftarrow[/mm] ist natürlich klar,
> Schwierigkeiten hab ich bei [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> Denn wenn ich mir z.B [mm]A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\1&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}[/mm]
> anschaue, dann ist A offensichtlich total unimodular.
>
> Aber [mm](A,I)=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1&1&0&0\\1&1&1&0&1&0\\1&1&2&0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
> ist es nicht, denn wenn ich mir die Teilmatrix
> [mm]\begin{pmatrix} 1&1&0\\1&0&1\\2&0&0\end{pmatrix}[/mm] anschaue,
> dann ist die Determinante davon 2.
>
> Wo liegt mein Fehler?
Deine Matrix $A$ ist nicht total unimodular: die Untermatrix [mm] $\pmat{ 2 }$ [/mm] hat nicht Determinante $0$ oder [mm] $\pm [/mm] 1$.
(Beachte, dass du quadratische Untermatrizen jedes Formats betrachten musst!)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Di 08.11.2011 | | Autor: | Black90 |
Oh Gott natürlich, wie konnte ich das übersehen.
Vielen Dank für den Hinweis.
Damit ist auch der Beweis kein Problem mehr, ich weiß ja jetzt dass alle Elemente 0,1 oder -1 sein müssen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Di 08.11.2011 | | Autor: | Pauli90 |
Morgen erst mal.
Ich weiß leider nicht wie ihr total unimodulare Matrizen definiert habt, aber ich kenne es so, dass eine t.u. Matrix die folgenden Eigenschaften erfüllen muss:
-> Für alle Einträge aus A gilt: [mm] a_{i,j}\in [/mm] {-1,0,1}
-> Jede Spalte von A enthält maximal zwei Einträge ungleich 0
-> Jede quadratische Untermatrix ist nicht-singulär
Vielleicht suchst du dir danach mal ein passendes Beispiel und kommst so auf eine Beweisidee.
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