Torusoberfläche < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 04.02.2012 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Sei T ein Volltorus der durch Rotieren der Menge [mm] $S:=\{(x,y,z)\in\IR^3 | y=0, (x-R)^2 + z^2 = r^2\}$ [/mm] um die z-Achse entsteht.
Berechne seine Oberfläche mittels der Formel für Rotationsflächen:
Für [mm] $M:=\{(x,y,z)\in\IR^3 | z\in ]a,b[, x^2 +y^2 =f(z)^2\}$ [/mm] gilt: [mm] $\lambda^2(M) [/mm] = [mm] 2\pi *\integral_a^b f(t)\sqrt{1 + f'(t)^2}\,dt$ [/mm] |
Hey,
Ich hatte mir überegt, dass man mit $f(z) = [mm] R+\sqrt{r^2-z^2^}$ [/mm] (dies entspricht ja gerade der äußeren Mantelfläche) die Formel anwenden kann.
[mm] $\lambda^2(T)
[/mm]
= [mm] 2*(2\pi *\integral_{-r}^r f(z)\sqrt{1+f'(z)^2}\,dz$ [/mm] ,2*, da innere und äußere Mantelfäche gleich groß sind,
$= [mm] 2*(2*(2\pi *\integral_{0}^r f(z)\sqrt{1+f'(z)^2}\,dz$ [/mm] ,2*, da f symmetrisch ist
= [mm] 8\pi*\integral_{0}^r f(t)\sqrt{1 + f'(z)^2}\,dz [/mm]
= [mm] 8\pi*\integral_{0}^r(R+\sqrt{r^2-z^2})\sqrt{1+\frac{1}{4r^2-4s^2}}\,dz$
[/mm]
Und hier komm ich nun keinen Schritt mehr voran, ich weiss nicht, wie ich das integrieren kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Sa 04.02.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> da innere und äußere Mantelfäche gleich groß sind,
Nein.
Du hast
$ [mm] R+\sqrt{r^2-z^2^} [/mm] $
und
$ [mm] R-\sqrt{r^2-z^2^} [/mm] $
Das 2. ist kleiner als das 1., also ist auch die Fläche kleiner. (aus dem gleichen Grund, aus dem auch ein Band mit Radius 1 eine kleinere Oberfläche hat als eins mit Radius 2)
> $ [mm] 8\pi\cdot{}\integral_{0}^r(R+\sqrt{r^2-z^2})\sqrt{1+\frac{1}{4r^2-4s^2}}\,dz$ [/mm] $
Die Ableitung stimmt nicht.
Mach die doch nochmal ausführlich. Dann sehen wir weiter. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 04.02.2012 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | > Sei T ein Volltorus der durch Rotieren der Menge
> [mm]S:=\{(x,y,z)\in\IR^3 | y=0, (x-R)^2 + z^2 = r^2\}[/mm] um die
> z-Achse entsteht (mit 0 < r < R)
>
> Berechne seine Oberfläche mittels der Formel für
> Rotationsflächen:
> Für [mm]M:=\{(x,y,z)\in\IR^3 | z\in ]a,b[, x^2 +y^2 =f(z)^2\}[/mm]
> gilt: [mm]\lambda^2(M) = 2\pi *\integral_a^b f(t)\sqrt{1 + f'(t)^2}\,dt[/mm] |
Ok mit Korrekturen:
[mm]f_1(z):= R+\sqrt{r^2-z^2}[/mm] und [mm]f_2(z):= R-\sqrt{r^2-z^2}[/mm]
[mm] $\lambda^2(T)
[/mm]
= [mm] 2\pi(\integral_{-r}^r f_1(z)\sqrt{1+f'(z)^2}\,dz [/mm] + [mm] \integral_{-r}^r f_2(z)\sqrt{1+f'(z)^2}\,dz)
[/mm]
= [mm] 2\pi(\integral_{-r}^r (R+\sqrt{r^2-z^2})\sqrt{1+\frac{z^2}{r^2-z^2}}\,dz [/mm] + [mm] \integral_{-r}^r (R-\sqrt{r^2-z^2})\sqrt{1+\frac{z^2}{r^2-z^2}}\,dz)
[/mm]
= [mm] 4R\pi\integral_{-r}^r \sqrt{1+\frac{z^2}{r^2-z^2}}\,dz
[/mm]
= [mm] 8R\pi\integral_{0}^r \sqrt{1+\frac{z^2}{r^2-z^2}}\,dz
[/mm]
= [mm] 8R\pi\integral_{0}^r \sqrt{\frac{r^2}{r^2-z^2}}\,dz
[/mm]
Da sieht schonmal besser aus.
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Genau. Und das Integral [mm]\int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2 - z^2}} ~ \mathrm{d} z[/mm] erhältst du auch, wenn du die Bogenlänge eines Halbkreises vom Radius [mm]r[/mm] berechnen willst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Sa 04.02.2012 | | Autor: | diddy449 |
> Genau. Und das Integral [mm]\int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2 - z^2}} ~ \mathrm{d} z[/mm]
> erhältst du auch, wenn du die Bogenlänge eines
> Halbkreises vom Radius [mm]r[/mm] berechnen willst.
ok, damit hab ich das jetzt verstanden:
Durch Umformungen und Substitution erhält man dann [mm] \int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2 - z^2}} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * r
Vielen Dank für deine Hilfe.
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Wie Blech schon gesagt hat: Innere und äußere Mantelfläche sind nicht gleich groß. Im [mm]zx[/mm]-Koordinatensystem ist bei Rotation um die [mm]z[/mm]-Achse die Funktion
[mm]f_1(z) = R + \sqrt{r^2 - z^2} \, , \ \ -r \leq z \leq r[/mm]
für die äußere Mantelfläche und
[mm]f_2(z) = R - \sqrt{r^2 - z^2} \, , \ \ -r \leq z \leq r[/mm]
für die innere Mantelfläche zuständig. Die Mantelfläche des Torus ist daher
[mm]\lambda^2(T) = 2 \pi \int_{-r}^r f_1(z) \cdot \sqrt{1 + \left( f_1'(z) \right)^2} ~ \mathrm{d}z \ + \ 2 \pi \int_{-r}^r f_2(z) \cdot \sqrt{1 + \left( f_2'(z) \right)^2} ~ \mathrm{d}z = 2 \pi \int_{-r}^r \left( f_1(z) \cdot \sqrt{1 + \left( f_1'(z) \right)^2} + f_2(z) \cdot \sqrt{1 + \left( f_2'(z) \right)^2} \right) ~ \mathrm{d}z[/mm]
Es empfiehlt sich, wie ich es beschrieben habe, die beiden Integrale zu einem Integral zusammenzufassen, da sich hierbei der Integrand vereinfacht.
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