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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | Seien K und L kompakte Teilmengen von [mm] \IR^{n}. [/mm] Zeige, dass dann auch die Menge
K+L:={x+y [mm] \in \IR [/mm] : x [mm] \in [/mm] K, y [mm] \in [/mm] L}
kompakt ist. Hinweis: IN [mm] \IR^{n} [/mm] ist folgenkompakt äquivalent zu kompakt.
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Ich weiss nun nicht, wie ich die Folgen in K und L für den allgemeinen Fall zu wählen sind, damit man zeigen kann, dass sie konvergente Teilfolgen haben.
Dank euch für eure Hilfe!!
MFG
Sacha
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> Seien K und L kompakte Teilmengen von [mm]\IR^{n}.[/mm] Zeige, dass
> dann auch die Menge
>
> [mm]K+L:=\{x+y \in \IR : x \in K, y \in L\}[/mm]
>
> kompakt ist. Hinweis: IN [mm]\IR^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist folgenkompakt
> äquivalent zu kompakt.
>
> Ich weiss nun nicht, wie ich die Folgen in K und L für den
> allgemeinen Fall zu wählen sind, damit man zeigen kann,
> dass sie konvergente Teilfolgen haben.
>
Sei also etwa $(z_n)_{n\in\IN}$ eine Folge aus $K+L$. Somit muss es Folgen $(x_n}_{n\in\IN}$ aus $K$ und $(y_n)_{n\in \IN}$ aus $L$ geben, so dass $z_n=x_n+y_n$, für alle $n\in \IN$.
Nach Voraussetzung über $K$ und $L$ gib es konvergente Teilfolgen von $(x_n)_{n\in \IN}$ und $(y_n)_{n\in \IN}$. - Also?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 So 15.03.2009 | | Autor: | Sacha |
Hei danke!! ... Aber du, ist das alles? Mehr braucht man nicht zu zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 So 15.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Von wegen ! Du bist noch lange nicht fertig !
Schreib doch mal hin, was Du zeigen sollst !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 15.03.2009 | | Autor: | Sacha |
Zu zeigen wäre, dass es eine Folge $ [mm] (z_n)_{n\in\IN} [/mm] $ gibt, die aus den anderen beiden Folgen $ [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] $ aus K und $ [mm] (z_n)_{n\in\IN} [/mm] $ aus L besteht. Doch wie stell ich das an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 15.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zu zeigen wäre, dass es eine Folge [mm](z_n)_{n\in\IN}[/mm] gibt,
> die aus den anderen beiden Folgen [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] aus K und
> [mm](z_n)_{n\in\IN}[/mm] aus L besteht. Doch wie stell ich das an?
Für jedes einzelne Folgenglied [mm] $z_n\in [/mm] K+L$ gibt es per Definition zwei Zahlen [mm] $x_n\in [/mm] K $ und [mm] $y_n\in [/mm] L$ mit [mm] $z_n=x_n+y_n$.
[/mm]
(Übrigens könntest du auch zeigen, dass $K+L$ abgeschlossen und beschränkt ist.)
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 15.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu zeigen ist: die Folge [mm] (z_n) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolg, deren Limes zu K+L gehört.
Es ist [mm] z_n [/mm] = [mm] x_n+y_n [/mm]
[mm] (x_n \in [/mm] K, [mm] y_n \in [/mm] L)
Da K kompakt ist, enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit
[mm] x_0 [/mm] : = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_{n_k} \in [/mm] K
Da L kompakt ist, enthält [mm] (y_{n_k}) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (y_{n_{k_j}}) [/mm] mit
[mm] y_0 [/mm] : = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}y_{n_{k_j}} \in [/mm] L
Wogegen strebt wohl die Folge [mm] (z_{n_{k_j}}) [/mm] ????
FRED
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