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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es seien $\overline{\IR}= \IR \cup \left\{-\infty,\infty\right\}$ und $\mathcal G$ die Menge aller Intervalle der Form $(a,b), [-\infty,b), (a,\infty]$ mit $a,b \in \IR, a < b$. Zeige, dass durch
$\overline{\tau}$ := $\left\{A \subset \overline{\IR} : \exists \mathcal H \subset \mathcal G, A = \bigcup_{B \in \mathcal H}^{}B}\right\}$ eine Topologie auf $\overline{\IR}$ definiert ist. |
Hallo
Wir haben gerade mit Analysis III angefangen und unter anderem diese Aufgabe bekommen. Um zu zeigen, dass dies eine Topologie ist, muss man ja drei Sachen zeigen: 1. leere Menge und ganz \overline{\IR} müssen drin sein 2. Vereinigungen mit beliebiger Indexmenge müssen enthalten sein 3. Schnitte von abzählbaren Teilmengen müssen enthalten sein.
Nun, ich bin schon bei 1. gestolpert; ich krieg die leere Menge einfach nicht hin. Die offenen Mengen in \overline{\Tau} sind ja alles Vereinigungen der gegebenen Intervalle und ich seh nicht wie man mit den gegebenen Intervallen eine Vereinigung hinkriegt die leer ist. An 2. und 3. mag ich noch gar nicht denken....
Danke für die Hilfe
Björn
Ach ja: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Fr 28.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo polar_baer!
Bedenke, dass auch die leere Menge Teilmenge von [mm]\cal G[/mm] ist. Kannst du nicht einfach für [mm]\cal H[/mm] die leere Menge nehmen?
Und dass die Vereinigung beliebig vieler Elemente aus [mm]\bar \tau[/mm] wieder ein Element von [mm]\bar \tau[/mm] ergibt, scheint mir auch nicht so schwierig. Zunächst ist die Vereinigung beliebiger offener Intervalle [mm](a,b)[/mm] offen. Die Vereinigung beliebiger [mm][-\infty,b)[/mm] (oder [mm](a,\infty][/mm]) ist wieder von der Form [mm][-\infty,b)[/mm] (oder [mm](a,\infty][/mm]). Du musst jetzt diese drei Teile zusammenfügen.
Analog kannst du für den Durchschnitt abzählbarer vieler Elemente aus [mm]\bar \tau[/mm] schließen.
Viele Grüße
Rainer
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Ach ja, stimmt; wenn man die verschiedenen Fälle überprüft, wie die Intervalle aussehen, wenn man die drei versch. Typen in versch. Kombination vereinigt oder schneidet, folgen 2. und 3. sofort. Aber das mit der leeren Menge ist mir noch nicht ganz klar: die drei Typen von Intervalle, sind ja alle nicht leer, weil: a < b, also sind alle vom Typ (a,b) nichtleer; falls a [mm] \le [/mm] b wäre, könnte man ein Intervall vom Typ (a,a) nehmen, dann hätte man die leere Menge. Aber das ist ja nicht der Fall.
Danke und Gruss
Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Fr 28.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Björn,
die leere Menge ist in jeder Menge enthalten, also auch in G.
Wähle also H = {}. Dann ist die Vereinigung über alle Mengen, die in H enthalten sind (da ist ja keine) ebenfalls leer.
Gruß, koepper
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OK, jetzt ists klar. Aber nur noch eine Frage: wenn man berücksichtigt, dass die leere Menge in jeder Menge ist (ist das einfach eine Konvention, oder kann man das beweisen?), wieso wird das bei der Definition einer Topologie extra noch erwähnt? Der 1. Punkt ist ja, dass die leere Menge und die ganze Menge, über die die Topologie gebildet wird, in der Topologie sein müssen.
Gruss
Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du hast Recht, die Forderung ist trivial, wird aber dennoch aufgeschrieben um zu betonen, dass die leere Menge offen ist, da sie ja in der Topologie enthalten sein muss.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Fr 28.09.2007 | | Autor: | polar_baer |
Danke, jetzt ist alles klar.
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