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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:22 Mo 06.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe einige grundsätzliche Definitionsprobleme.
1) Ein metrischer Raum ist eine Menge X, auf der eine Metrik d definiert ist (Eigenschaften: positive Definitheit, Symmetrie, Dreiecksungleichung).
2) Topologischer Raum: Menge X, T [mm] \subset [/mm] X, falls gilt:
- [mm] \emptyset [/mm] und X [mm] \in [/mm] T
- U, V [mm] \in [/mm] T [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \capV \in [/mm] T
Ist jeder metrische Raum nun ein topologischer Raum?
Und gibt es einen topologischen Raum, der kein metrischer Raum ist?
Wie nennt man einen Raum, indem außer [mm] \emptyset [/mm] und X noch andere Mengen sowohl offen als auch abgeschlossen sind? (X und [mm] \emptyset [/mm] sind ja sowohl offen als auch abgeschlossen).
Herzlichen Dank,
Regine.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 06.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
> 1) Ein metrischer Raum ist eine Menge X, auf der eine
> Metrik d definiert ist (Eigenschaften: positive
> Definitheit, Symmetrie, Dreiecksungleichung).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) Topologischer Raum: Menge X, T [mm]\subset[/mm] X, falls gilt:
> - [mm]\emptyset[/mm] und X [mm]\in[/mm] T
> - U, V [mm]\in[/mm] T [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\cap V \in[/mm] T
Hier fehlt aber was. Auch beliebige Vereinigungen von Mengen aus $T$ müssen wieder in $T$ liegen.
> Ist jeder metrische Raum nun ein topologischer Raum?
Ja. Die "offenen" Mengen (also die Mengen, von denen wir zeigen wollen, dass sie eine Topologie bilden) sind neben der leeren Menge solche Mengen, für die gilt: Für alle Punkte $x$ der Menge gibt es einen "offenen [mm] $\varepsilon$-Ball" $B_{\varepsilon}(x):=\{y \in X\,:\, d(x,y)< \varepsilon\}$, [/mm] der ganz in der Menge enthalten ist.
Versuche mal nachzuweisen, dass das System dieser "offenen" Mengen in der Tat eine Topologie bildet.
> Und gibt es einen topologischen Raum, der kein metrischer
> Raum ist?
Ja. Versuche mal selber nachzuweisen, dass der Raum [mm] $X=\{0,1\}$ [/mm] (wobei $0$ und $1$ zwei abstrakte Elemente sind), zusammen mit der gröbstmöglichen Topologie [mm] $T=\{\emptyset,X\}$, [/mm] nicht metrisierbar ist (sprich: dass es keine Metrik auf $X$ gibt, so dass die im obigen Sinne von dieser Metrik induzierte Topologie gleich $T$ ist).
> Wie nennt man einen Raum, indem außer [mm]\emptyset[/mm] und X noch
> andere Mengen sowohl offen als auch abgeschlossen sind? (X
> und [mm]\emptyset[/mm] sind ja sowohl offen als auch
> abgeschlossen).
Das weiß ich nicht. Auf jeden Fall ist ein solcher Raum nicht zusammenhängend.
Versuche mal auf meine Vorschläge einzugehen. Wenn du nicht weiterkommst, dann melde dich bitte wieder. Wir helfen dir dann weiter, klar.  Ich würde nur zunächst einmal ganz gerne ein paar eigene Ansätze von dir sehen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mi 08.09.2004 | | Autor: | dieter |
> > Wie nennt man einen Raum, indem außer [mm]\emptyset[/mm] und X
> noch
> > andere Mengen sowohl offen als auch abgeschlossen sind?
> (X
> > und [mm]\emptyset[/mm] sind ja sowohl offen als auch
> > abgeschlossen).
>
> Das weiß ich nicht. Auf jeden Fall ist ein solcher Raum
> nicht zusammenhängend.
und genauso nennt man ihn dann auch
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