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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Di 25.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Auf der Menge [mm] \IN [/mm] der natürlichen Zahlen werde folgende Topologie eingeführt: Offene Mengen sind außer {} und [mm] \IN [/mm] alle Teilmenge [mm] U\subset\IN, [/mm] so dass ihr Komplement [mm] \IN\backslash [/mm] U endlich ist.
Zeigen Sie: (i) Die Axiome der Topologie sind erfüllt |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, kann mir jemand von euhc einen tip zu der aufgabe geben?
ich muss ja zeigen:
1. {} und [mm] \IN \in [/mm] T was laut aufgabe erfüllt ist
2. Der Schnitt 2er elemente aus T ist wieder in T
3. Die Vereinigung beliebig vieler Mengen aus T ist wieder in T
ich hab erhlichgesagt keine Ahnung wie ich das machen sollte.
ich müsste für 2. zeigen, dass das komplement von [mm] \IN\backslash\{alle Elemente Aus Dem Schnitt\} [/mm] endlich ist.
für 3. ca das selbe nur das man halt die vereinigung betrachtet und nicht den schnitt, nur wie macht man daS?
bin dankbar für jede hilfe :)
Gruß Ari
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Hallo Ari,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach, da findest du einige schöne rechenregeln für mengen... zB.
[mm] $A\backslash(B\cap C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash [/mm] C)$....
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:50 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AriR |
hey mathias, danke für den link. Bin jetzt etwas weitergekommen, bin mir aber bei einer sache nicht ganz sicher und zwar: ist die teilmenge/vereinigung endlicher mengen wieder endlich? also kann man das direkt folgern?
gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Mi 26.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Ari,
ja, jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich.
Bei der Vereinigung muss man etwas mehr aufpassen : Jede Vereinigung von endlich vielen endlichen Mengen ist endlich.
(Man kann also nicht ohne weiteres beliebig viele endliche Mengen vereinen und dann noch was endliches erwarten, z.B [mm] $\bigcup_{i\in\IN}\{ i \}=\IN$ [/mm] )
(bei dem dritten Axiom vereinigt man aber auch nicht die endlichen Menge  )
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AriR |
schonmal vielen dank.
bei dem 3. hab ich das wie folgt gemacht:
[mm] U_i\inT [/mm] für alle [mm] i\in [/mm] I (I ist endlich)
[mm] \Rightarrow \{x\in\IN|x\not\in U_i\} [/mm] endlich [mm] i\in [/mm] I (laut topologie)
[mm] \Rightarrow \{x\in\IN|x\in U_i \forall i\in I\} [/mm] endlich (vereingung endl. vieler mengen ist wieder endlich)
[mm] \Rightarrow \IN\backslash \cup_{i\in I}U_i [/mm] endlich
[mm] \Rightarrow \cup_{i\in I}U_i\in [/mm] T (laut Topologie)
hmm für das I hatten wir bei den Axiomen aufgeschrieben, dass I beliebig ist, schließt das unendlich mit ein? wenn ja, weißt jemand wie man das machen kann?
gruß Ari
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Hallo und guten Morgen !
> [mm]U_i\inT[/mm] für alle [mm]i\in[/mm] I (I ist endlich)
Warum nimmst Du zum Nachweis des dritten Axioms hier an, I sei endlich ???
Lies Dir das Axiom doch nochmal durch.
> [mm]\Rightarrow \{x\in\IN|x\not\in U_i\}[/mm] endlich [mm]i\in[/mm] I (laut
> topologie)
Kürzer: [mm] \IN\setminus U_i [/mm] endlich oder [mm] U_i=\IN [/mm] (das fehlte auch noch !!!
Aber den Fall kannst Du auch gesondert betrachten und dann im weiteren annehmen,
[mm] \emptyset\neq U_i\neq\IN [/mm] für alle [mm] i\in [/mm] I.
> [mm]\Rightarrow \{x\in\IN|x\in U_i \forall i\in I\}[/mm] endlich
Du meinst [mm] ''x\not\in U_i\:\:\forall i\in [/mm] I'', oder ?
> (vereingung endl. vieler mengen ist wieder endlich)
Nein, und das kommt hier ja gar nicht vor !!!
> [mm]\Rightarrow \IN\backslash \cup_{i\in I}U_i[/mm] endlich
> [mm]\Rightarrow \cup_{i\in I}U_i\in[/mm] T (laut Topologie)
>
> hmm für das I hatten wir bei den Axiomen aufgeschrieben,
> dass I beliebig ist, schließt das unendlich mit ein? wenn
> ja, weißt jemand wie man das machen kann?
>
Aha. Ok, wir nehmen also [mm] U_i [/mm] offen, [mm] i\in [/mm] I an mit [mm] \emptyset\neq U_i\neq \IN\:\forall i\in [/mm] I (s.o.).
Wir wollen zeigen, dass [mm] \bigcup_{i\in I}U_i [/mm] offen ist, also nach Def. der offenen Mengen
entweder [mm] \bigcup_iU_i=\emptyset
[/mm]
oder [mm] \IN\setminus \bigcup_{i\in I}U_i [/mm] endlich.
Nun musst Du
[mm] \IN\setminus \bigcup_{i\in I}U_i [/mm]
mal anders hinschreiben:
[mm] \IN\setminus \bigcup_{i\in I}U_i [/mm] = [mm] \bigcap_{i\in I}\ldots [/mm]
(was steht da nun wohl ?).
Und dann benutzt Du, dass der Schnitt beliebig vieler endlicher Mengen wieder endlich ist.
Viel Erfolg und
viele Grüße,
Mathias
> gruß Ari
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AriR |
@mathiasch
ehrlich gesagt habe ich keine ahnung =(
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Hallo Ari,
nun, es gilt doch
[mm] \IN\setminus\left (\bigcup_{i\in I}U_i\right )=\bigcap_{i\in I}(\IN\setminus U_i)
[/mm]
und die einzelnen [mm] \IN\setminus U_i [/mm] sind doch endlich, also auch ihr Schnitt, welcher das Komplement der Vereinigung
der [mm] U_i [/mm] ist, damit ist die Vereinigung offen.
Klar soweit ?
Gruss,
Mathias
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