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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für jede Pseudometrik d auf einer Menge X sind die Mengen
[mm] U_{r}(X) := \{y\in X : d(x,y) < r\} , r>0, x\in X[/mm]
Basis einer Topologie |
Hallo,
Also um eine kurze Einführung zu gestalten:
Sollte Pseudometrik jemanden nicht/unter einem anderen Begriff bekannt sein:
d wird Pseudometrik genannt falls:
(bewusst wird [mm] \forall [/mm] x,y etc. weggelassen)
1) d(x,x) = 0
2) d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0
3) d(x,y)+d(y,z) [mm] \ge [/mm] d(x,z)
falls zusätzlich: d(x,y) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y so sprechen wir von einer Metrik.
Nun möchte ich noch kurz vorausschicken:
Ist B Basis einer Topologie [mm] \Tau [/mm] auf X so erfüllt B folgendes:
a ) [mm] B_{1} [/mm] , [mm] B_{2} \in [/mm] B, x [mm] \in B_{1} \cap B_{2} [/mm] so [mm] \exists B_{3} \in [/mm] B mit x [mm] \in B_{3}\subseteq B_{1} \cap B_{2}
[/mm]
b) [mm] \bigcup_{B \in B} [/mm] B = X , hierbei ist B natürlich doppelt (etwas ungünstig aber prinzipiell wäre ein "B" als"Schön B" zu lesen)
Punkt b ist leicht zu zeigen und ich konzentriere mich daher auf Punkt a:
also:
Behauptung: "a)" ist erfüllt
Bw:
ang: [mm] U_{r_{1}}(x) \cap U_{r_{2}}(y) \neq \emptyset \Rightarrow \exists [/mm] z [mm] \in U_{r_{1}}(x) \cap U_{r_{2}}(y)
[/mm]
wähle: [mm] \delta_{1} [/mm] := [mm] r_{1} [/mm] -d(x,z) , [mm] \delta_{2} [/mm] := [mm] r_{2} [/mm] - d(y,z).
[mm]\forall w \in U_{\delta_{1}}(z) : d(x,w) \le d(x,z) + d(z,w) < r_{1}[/mm] wobei nun d(x,z) = [mm] r_{1}-\delta_{1} [/mm] und d(z,w) < [mm] \delta_{1}
[/mm]
es folt: [mm] U_{\delta_{1}}(z) \subseteq B_{1}
[/mm]
Nun analoge Ungleichung für....... < [mm] r_{2} [/mm]
liefert: [mm] U_{\delta_{2}}(z) \subseteq B_{2}
[/mm]
setzen wir nun : [mm] \delta [/mm] : = [mm] min(\delta_{1},\delta_{2}) [/mm] folgt [mm] U_{\delta}(z) \subseteq B_{1} \cap B_{2}
[/mm]
wir ersehen dass: [mm] U_{r} [/mm] (x) Basis ist.
Frage: Bin mir nicht ganz sicher ob das so eindeutig argumentiert ist, was meint ihr?
Lg und Dank
THomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
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> Für jede Pseudometrik d auf einer Menge X sind die Mengen
>
> [mm]U_{r}(X) := \{y\in X : d(x,y) < r\} , r>0, x\in X[/mm]
>
> Basis einer Topologie
> Hallo,
>
> Also um eine kurze Einführung zu gestalten:
>
> Sollte Pseudometrik jemanden nicht/unter einem anderen
> Begriff bekannt sein:
>
> d wird Pseudometrik genannt falls:
>
> (bewusst wird [mm]\forall[/mm] x,y etc. weggelassen)
>
> 1) d(x,x) = 0
> 2) d(x,y) [mm]\ge[/mm] 0
> 3) d(x,y)+d(y,z) [mm]\ge[/mm] d(x,z)
Da hast Du Dich wohl vertippt: d(x,y)+d(y,z) [mm]\le[/mm] d(x,z)
>
> falls zusätzlich: d(x,y) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=y so sprechen
> wir von einer Metrik.
>
> Nun möchte ich noch kurz vorausschicken:
>
> Ist B Basis einer Topologie [mm]\Tau[/mm] auf X so erfüllt B
> folgendes:
>
> a ) [mm]B_{1}[/mm] , [mm]B_{2} \in[/mm] B, x [mm]\in B_{1} \cap B_{2}[/mm] so [mm]\exists B_{3} \in[/mm]
> B mit x [mm]\in B_{3}\subseteq B_{1} \cap B_{2}[/mm]
> b) [mm]\bigcup_{B \in B}[/mm]
> B = X , hierbei ist B natürlich doppelt (etwas ungünstig
> aber prinzipiell wäre ein "B" als"Schön B" zu lesen)
>
> Punkt b ist leicht zu zeigen und ich konzentriere mich
> daher auf Punkt a:
>
> also:
>
> Behauptung: "a)" ist erfüllt
> Bw:
>
> ang: [mm]U_{r_{1}}(x) \cap U_{r_{2}}(y) \neq \emptyset \Rightarrow \exists[/mm]
> z [mm]\in U_{r_{1}}(x) \cap U_{r_{2}}(y)[/mm]
> wähle: [mm]\delta_{1}[/mm]
> := [mm]r_{1}[/mm] -d(x,z) , [mm]\delta_{2}[/mm] := [mm]r_{2}[/mm] - d(y,z).
>
> [mm]\forall w \in U_{\delta_{1}}(z) : d(x,w) \le d(x,z) + d(z,w) < r_{1}[/mm]
> wobei nun d(x,z) = [mm]r_{1}-\delta_{1}[/mm] und d(z,w) <
> [mm]\delta_{1}[/mm]
>
> es folt: [mm]U_{\delta_{1}}(z) \subseteq B_{1}[/mm]
>
> Nun analoge Ungleichung für....... < [mm]r_{2}[/mm]
> liefert: [mm]U_{\delta_{2}}(z) \subseteq B_{2}[/mm]
>
> setzen wir nun : [mm]\delta[/mm] : = [mm]min(\delta_{1},\delta_{2})[/mm]
> folgt [mm]U_{\delta}(z) \subseteq B_{1} \cap B_{2}[/mm]
>
> wir ersehen dass: [mm]U_{r}[/mm] (x) Basis ist.
>
>
> Frage: Bin mir nicht ganz sicher ob das so eindeutig
> argumentiert ist, was meint ihr?
Ich finds O.K.
FRED
>
>
> Lg und Dank
>
> THomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Di 25.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > Zeigen Sie:
> >
> > Für jede Pseudometrik d auf einer Menge X sind die Mengen
> >
> > [mm]U_{r}(X) := \{y\in X : d(x,y) < r\} , r>0, x\in X[/mm]
> >
> > Basis einer Topologie
> > Hallo,
> >
> > Also um eine kurze Einführung zu gestalten:
> >
> > Sollte Pseudometrik jemanden nicht/unter einem anderen
> > Begriff bekannt sein:
> >
> > d wird Pseudometrik genannt falls:
> >
> > (bewusst wird [mm]\forall[/mm] x,y etc. weggelassen)
> >
> > 1) d(x,x) = 0
> > 2) d(x,y) [mm]\ge[/mm] 0
> > 3) d(x,y)+d(y,z) [mm]\ge[/mm] d(x,z)
>
>
> Da hast Du Dich wohl vertippt: d(x,y)+d(y,z) [mm]\le[/mm] d(x,z)
Ja klar danke, da habe ich mich vertippt.
>
> >
> > falls zusätzlich: d(x,y) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=y so sprechen
> > wir von einer Metrik.
> >
> > Nun möchte ich noch kurz vorausschicken:
> >
> > Ist B Basis einer Topologie [mm]\Tau[/mm] auf X so erfüllt B
> > folgendes:
> >
> > a ) [mm]B_{1}[/mm] , [mm]B_{2} \in[/mm] B, x [mm]\in B_{1} \cap B_{2}[/mm] so [mm]\exists B_{3} \in[/mm]
> > B mit x [mm]\in B_{3}\subseteq B_{1} \cap B_{2}[/mm]
> > b)
> [mm]\bigcup_{B \in B}[/mm]
> > B = X , hierbei ist B natürlich doppelt (etwas ungünstig
> > aber prinzipiell wäre ein "B" als"Schön B" zu lesen)
> >
> > Punkt b ist leicht zu zeigen und ich konzentriere mich
> > daher auf Punkt a:
> >
> > also:
> >
> > Behauptung: "a)" ist erfüllt
> > Bw:
> >
> > ang: [mm]U_{r_{1}}(x) \cap U_{r_{2}}(y) \neq \emptyset \Rightarrow \exists[/mm]
> > z [mm]\in U_{r_{1}}(x) \cap U_{r_{2}}(y)[/mm]
> > wähle:
> [mm]\delta_{1}[/mm]
> > := [mm]r_{1}[/mm] -d(x,z) , [mm]\delta_{2}[/mm] := [mm]r_{2}[/mm] - d(y,z).
> >
> > [mm]\forall w \in U_{\delta_{1}}(z) : d(x,w) \le d(x,z) + d(z,w) < r_{1}[/mm]
> > wobei nun d(x,z) = [mm]r_{1}-\delta_{1}[/mm] und d(z,w) <
> > [mm]\delta_{1}[/mm]
> >
> > es folt: [mm]U_{\delta_{1}}(z) \subseteq B_{1}[/mm]
> >
> > Nun analoge Ungleichung für....... < [mm]r_{2}[/mm]
> > liefert: [mm]U_{\delta_{2}}(z) \subseteq B_{2}[/mm]
> >
> > setzen wir nun : [mm]\delta[/mm] : = [mm]min(\delta_{1},\delta_{2})[/mm]
> > folgt [mm]U_{\delta}(z) \subseteq B_{1} \cap B_{2}[/mm]
> >
> > wir ersehen dass: [mm]U_{r}[/mm] (x) Basis ist.
> >
> >
> > Frage: Bin mir nicht ganz sicher ob das so eindeutig
> > argumentiert ist, was meint ihr?
>
> Ich finds O.K.
>
> FRED
Super, danke dass du dich immer meinen Topologie Beispielen annimmst ;)
Lg
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> >
> > Lg und Dank
> >
> > THomas
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