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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:21 Mo 11.07.2011 | | Autor: | burk |
hallo,
warum ist jeder metrische Raum auf natuerliche Weise ein topologischer Raum
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Georg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mo 11.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
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> warum ist jeder metrische Raum auf natuerliche Weise ein
> topologischer Raum
Sei (X,d) ein metrischer Raum.
Ist [mm] x_0 \in [/mm] X und r>0, so sei [mm] $B_r(x_0):= \{x \in X: d(x,x_0)
Sei A eine Teilmenge von X. Wir sagen A heißt offen, wenn es zu jedem [mm] x_0 \in [/mm] A ein [mm] r=r(x_0)>0 [/mm] gibt mit
[mm] $B_r(x_0) \subseteq [/mm] A$.
Nun überzeuge dich, dass
$ [mm] \tau:=\{A \subseteq X: A ~~ ist ~~ offen ~~ \}$
[/mm]
eine Topologie auf X ist (die von der Metrik induzierte Topologie)
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Gruß
> Georg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Mo 11.07.2011 | | Autor: | burk |
Hallo fred97,
wird dann jede Topologie von eine Metrik induziert?
Gruß
Georg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mo 11.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> wird dann jede Topologie von eine Metrik induziert?
Nein. Jede Metrik erzeugt eine Topologie, aber die Umkehrung ist i.a. falsch.
Damit sind wie beim Problem der "Metrisierbarkeit", ein nicht einfaches Problem ! Schau mal hier rein:
http://de.wikipedia.org/wiki/Metrisierbarer_Raum
FRED
>
> Gruß
> Georg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Mo 11.07.2011 | | Autor: | burk |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine Hilfe
Gruß
Georg
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