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| Aufgabe | Bilden Sie die totale Ableitung der folgenden Funktionen nach der Variable x. Gehen Sie dort, wo keine konkreten Funktionen angegeben sind, davon aus, dass die Funktionen einmal stetig differenzierbar sind.
a) g(x, y(x))= [mm] 3x^2*4y [/mm] , mit [mm] y(x)=(x+1)^2
[/mm]
b) h(x, y(x))= 2 * z(x)
... |
Hallo,
also totale Ableitungen sind eigentlich kein Problem. Aber ich kenne sie eher von der Form f(x, y)= ..., x(t)=... und y(t)=... .
Darum weiss ich nicht genau, wie ich hier verfahren soll. Die Sache ist, dass immer eine Variable ein- oder mehrfach implizit angegeben wird.
Hier mal meine ersten Versuche:
Zu a) Part.Abl. nach x: 24xy
Part.Abl. nach y: [mm] 12x^2
[/mm]
1.Abl. von y(x): 2(x+1)*1
[mm] \bruch{dg}{dx}=24xy*1 [/mm] + [mm] 12x^2*2(x+1)*1
[/mm]
=...
[mm] =24x(2x^2+3x+1)
[/mm]
Zu b) Part. Abl. nach x: 2
Part.Abl. nach z: 2(?)
Hier gehe ich davon aus, dass z(x)= x ist(?)
dann erhalte ich : [mm] \bruch{dh}{dx}=2+2x
[/mm]
Das kommt mir alles bisschen komisch vor. Gehe ich richtig vor? Wenn nein, würde ich mich über einen kleinen Tipp freuen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Sonnenschein123,
> Bilden Sie die totale Ableitung der folgenden Funktionen
> nach der Variable x. Gehen Sie dort, wo keine konkreten
> Funktionen angegeben sind, davon aus, dass die Funktionen
> einmal stetig differenzierbar sind.
>
> a) g(x, y(x))= [mm]3x^2*4y[/mm] , mit [mm]y(x)=(x+1)^2[/mm]
>
> b) h(x, y(x))= 2 * z(x)
>
> ...
> Hallo,
>
> also totale Ableitungen sind eigentlich kein Problem. Aber
> ich kenne sie eher von der Form f(x, y)= ..., x(t)=...
> und y(t)=... .
>
> Darum weiss ich nicht genau, wie ich hier verfahren soll.
> Die Sache ist, dass immer eine Variable ein- oder mehrfach
> implizit angegeben wird.
>
> Hier mal meine ersten Versuche:
>
> Zu a) Part.Abl. nach x: 24xy
>
> Part.Abl. nach y: [mm]12x^2[/mm]
>
> 1.Abl. von y(x): 2(x+1)*1
>
> [mm]\bruch{dg}{dx}=24xy*1[/mm] + [mm]12x^2*2(x+1)*1[/mm]
> =...
> [mm]=24x(2x^2+3x+1)[/mm]
Das ist zwar ein bisschen holprig aufgeschrieben, aber richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu b) Part. Abl. nach x: 2
>
> Part.Abl. nach z: 2(?)
>
> Hier gehe ich davon aus, dass z(x)= x ist(?)
Warum? Du weißt doch nichts über z(x).
> dann erhalte ich : [mm]\bruch{dh}{dx}=2+2x[/mm]
Wenn du z(x)=x setzt, ist [mm]\frac{d}{dx} 2x[/mm] zu berechnen und das ist nicht 2+2x...
> Das kommt mir alles bisschen komisch vor. Gehe ich richtig
> vor? Wenn nein, würde ich mich über einen kleinen Tipp
> freuen.
In der Aufgabe steht doch, dass wenn nichts zu den beiteiligten Funktionen angegeben ist, sollst du davon ausgehen, dass sie einmal stetig differenzierbar sind. D.h. hier: [mm]z'(x)[/mm] existiert (und ist stetig).
Es ist also [mm]\frac{d h(x,z(x))}{dx}=\frac{d}{dx} 2z(x)=2z'(x)[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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| Aufgabe | Fortsetzung derselben Aufgabe:
c) [mm] g(x,v(x))=4x^2+\bruch{x}{v(x)}
[/mm]
d) [mm] f(x,y(x))=A*x^\alpha(y(x))^{1-\alpha}, [/mm] mit y(x)=3-x, wobei A und [mm] \alpha [/mm] Konstanten sind
e) f(x,z(y(x))) |
Hallo nochmal,
erst mal ganz herzlichen Dank für Deine Antwort. Ich habe mich mal an die nächsten Aufgaben gemacht; habe aber noch Zweifel, ob der Groschen schon gefallen ist. Darum wäre es nett, wenn mal einer drüberschauen würde:
zu c) [mm] \bruch{\partial g}{\partial x}=8x+\bruch{1}{v(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial v}=-\bruch{x}{(v(x))^2}
[/mm]
[mm] \bruch{dg}{dx}= \bruch{8x(v(x))^2+v(x)-x}{(v(x))^2}
[/mm]
zu d) [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=A*\alpha*x^{\alpha-1}*(y(x))^{1-\alpha}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=A*x^{\alpha}*(1-\alpha)(y(x))^{-\alpha}*y'(x)
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dx}= A*x^{\alpha}(3-x)^{-\alpha}(3\alpha+\alpha*x+1-\alpha)
[/mm]
zu e) hätte ich als Vorschlag:
[mm] \bruch{df}{dx}=z'(y(x))*y'(x)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und freue mich über konstruktive Hilfestellung.
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Hallo Sonnenschein123,
> Fortsetzung derselben Aufgabe:
>
> c) [mm]g(x,v(x))=4x^2+\bruch{x}{v(x)}[/mm]
>
> d) [mm]f(x,y(x))=A*x^\alpha(y(x))^{1-\alpha},[/mm] mit y(x)=3-x,
> wobei A und [mm]\alpha[/mm] Konstanten sind
>
> e) f(x,z(y(x)))
> Hallo nochmal,
>
> erst mal ganz herzlichen Dank für Deine Antwort. Ich habe
> mich mal an die nächsten Aufgaben gemacht; habe aber noch
> Zweifel, ob der Groschen schon gefallen ist. Darum wäre es
> nett, wenn mal einer drüberschauen würde:
>
> zu c) [mm]\bruch{\partial g}{\partial x}=8x+\bruch{1}{v(x)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial v}=-\bruch{x}{(v(x))^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dg}{dx}= \bruch{8x(v(x))^2+v(x)-x}{(v(x))^2}[/mm]
>
Hier muss es doch so lauten:
[mm]\bruch{dg}{dx}= \bruch{8x(v(x))^2+v(x)-x*\red{v'\left(x\right)}}{(v(x))^2}[/mm]
> zu d) [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=A*\alpha*x^{\alpha-1}*(y(x))^{1-\alpha}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=A*x^{\alpha}*(1-\alpha)(y(x))^{-\alpha}*y'(x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dx}= A*x^{\alpha}(3-x)^{-\alpha}(3\alpha+\alpha*x+1-\alpha)[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Für die Ableitung ist die Produktregel anwenden.
> zu e) hätte ich als Vorschlag:
>
> [mm]\bruch{df}{dx}=z'(y(x))*y'(x)[/mm]
>
Das ist nur richtig, wenn [mm]f\left(x\right)=z\left( \ y\left(x\right) \ \right)[/mm]
Im vorliegenden Fall ist aber die ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerte Kettenregel anzuwenden.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> freue mich über konstruktive Hilfestellung.
Gruss
MathePower
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