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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:14 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Levit |
| Aufgabe | Zeigen sie mittels Einschnürungssatz für [mm] n\to \infty
[/mm]
a) [mm] \wurzel[n]{a} \to [/mm] 1 a>0
b) [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1
c) [mm] \wurzel[n]{5^n+11^n+42^n} \to [/mm] 42 |
Hallo an alle,
die Aufgaben sehen auf den ersten Blick auch nicht so schwer aus, aber ich kann halt keine normalen Konvergenzkriterien benutzen, sondern den Einschnürungssatz. Gesagt, getan. Dieser besagt, dass wenn [mm] f(x)\le g(x)\le [/mm] h(x) sowie [mm] f(x)\to [/mm] L und [mm] h(x)\to [/mm] L dann auch [mm] g(x)\to [/mm] L.
Mit anderen Worten, wenn ich eine kleinere Funktion f und eine größere Funktion h finde, die beide den gleichen Grenzwert haben, so hat die Funktion g denselben Grenzwert.
Nun betrachte ich bei Aufgabe a einfach erstmal [mm] a\ge [/mm] 1. Dann ist meine kleinere Funktion recht einfach, nämlich [mm] \wurzel[n]{1}. [/mm] Und die geht gegen 1, das ist "trivial". Aber wie mache ich jetzt weiter? Wie finde ich eine größere Funktion, deren Grenzwert auch 1 ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wie man b) zeigen kann, findest Du hier:
https://matheraum.de/read?t=835589.
Wie man das allerdings mit dem Einschnürungssatz erledigen soll, weiß ich momentan nicht.
Edit: ich war noch nicht ganz wach. Selbstverständlich wird oben der Einschnürungssatz benutzt.
Wenn Du b) mal hast gilt für a [mm] \ge [/mm] 1:
1 [mm] \le \wurzel[n]{a} \le \wurzel[n]{n} [/mm] für fast alle n.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:29 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Levit |
Dazu habe ich auch schon genug gefunden, keine Frage, aber wie gesagt, nur mittels Einschnürungssatz zeigen. Das ist halt meine Frage. Trotzdem danke für den Link =)
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Hallo Levit,
> Dazu habe ich auch schon genug gefunden, keine Frage, aber
> wie gesagt, nur mittels Einschnürungssatz zeigen. Das ist
> halt meine Frage.
Es ist überflüssig mit dem Einschließungssatz zu argumentieren, aber meinentwegen.
Aus [mm] a_n^2\leq\frac{2}{n-1} [/mm] folgt [mm] a_n\leq\sqrt{\frac{2}{n-1}}, n\geq2.
[/mm]
Damit ist [mm] \sqrt[n]{n}=1+a_n\leq1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}\to1,n\to\infty.
[/mm]
zu c) kannst du die Idee aus diesem Thread verwenden.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:52 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Levit |
Vielen Dank für die Antworten, aber was Aufgabe a angeht, bin ich immer noch nicht schlauer, denn da hatte ich ja den Ansatz schon gezeigt.
Ich sehe das auch dass es damit unnötig umständlich wird, aber was soll ich machen? Die Aufgabe ist nun mal so... ;)
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> Vielen Dank für die Antworten, aber was Aufgabe a angeht,
> bin ich immer noch nicht schlauer, denn da hatte ich ja den Ansatz schon gezeigt.
Wenn du b) hast folgt a)
[mm] 1\leq\sqrt[n]{a}\leq\sqrt[n]{n}
[/mm]
für [mm] n\geq [/mm] a.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:03 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Liest Du Antworten, die man Dir gibt ? Nein ! Warum nicht ? Das hatte ich Dir gesagt:
1 $ [mm] \le \wurzel[n]{a} \le \wurzel[n]{n} [/mm] $ für fast alle n.
FRED
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