Tiefpunktbestimmung einer F. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 So 16.10.2005 | | Autor: | mili |
Hallo,
ich möchte von dieser Funktion den globalen Tiefpunkt bestimmen:
f(n) = [mm] \bruch{floor(c*n)}{n}
[/mm]
c ist dabei ein rationale Zahl zwischen 0 und 1. Für den Definitionsbereich von n gilt: [mm] D={n_{0}; n_{0}+ 1; ...}, [/mm] wobei [mm] n_{0} [/mm] eine natürliche Zahl ist. floot() ist eine Funktion, die die Zahl abrundet.
Ich habe bis jetzt nur einen einzigen Ansatz:
Wenn Rest() den Rest einer rationalen Zahl ist, lässt sich die Funktion so umformen:
f(n) = [mm] \bruch{floor(c*n)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{c*n - Rest(c*n)}{n} [/mm] = c - [mm] \bruch{Rest(c*n)}{n}
[/mm]
Rest(c*n) ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1. Deshalb kann man sagen, dass wenn man für n immer größere Zahlen einsetzt, der Term [mm] \bruch{Rest(c*n)}{n} [/mm] im großen und ganzen immer kleiner wird. Daher hatte ich die Vermutung, dass die komplette Funktion f(n) seinen Tiefpunkt irgendwo in der Nähe von [mm] n_{0} [/mm] hat, weil da ja [mm] \bruch{Rest(c*n)}{n} [/mm] nach meiner Vermutung am größten ist und somit die ganze Funktion am kleinsten.
Leider bin ich bis jetzt aber nicht weiter gekommen. Ist meine Vermutung richtig? Wenn ja, habt ihr eine Idee, wieviele n-Werte man in der Nähe von [mm] n_{0} [/mm] untersuchen müsste, um ganz sicher den globalen Tiefpunkt zu erhalten.
Gibt es sonst Verfahren zur Bestimmung von Tiefpunkten für solche Art von Funktionen, wenn ja, bitte ein Verweis auf Quelle oder Literatur geben.
Grüße,
Milad
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.infmath.de
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Hallo Milad,
interessante Aufgabe! Ich hab erstmal einen Plot gemacht für c=0.6123243. Man muss sich halt nur die Schnittpunkte der Linien mit dem Graphen als Punkte denken, denn die Fkt. konnte ich nur auf R zeichnen lassen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man sieht schon mal, dass keine Monotonie vorhanden ist: mal ist der nächste Wert kleiner, dann größer, dann wieder größer oder kleiner,...
aber insgesamt gehts natürlich nach oben. Deshalb stimmt deine Vermutung, dass der Tiefpunkt in der Nähe von [mm]n_0[/mm] sein muss.
Wenn [mm]c*n_0 < 1[/mm] ist, also mit [mm]c=\bruch{p}{q} p*n < q[/mm] gilt (vollständig gekürzter Bruch), ist der Fkt.wert 0 und der Tiefpunkt (bzw. die Tiefpunkte) ist gefunden.
Wenn das nicht der Fall ist, wirds schwieriger, denn die Breite der "Sägezähne" hängt von c ab, also hängt auch die Anzahl der n's die man sich in der Nähe von [mm]n_0[/mm] anschauen muss, davon ab. Am einfachsten gehts eigentlich mit einem Plot, aber das ist natürlich sehr unmathematisch 
Die Breite der Sägezähne ist der Abstand der Maxima, also der x für die f(x)=c gilt. Immer wenn x ein Vielfaches von q ist, ist das der Fall. Also ist die Breite q.
Mein Vorgehen wäre folgendes: ein n nach dem anderen Einsetzen, solange, bis der kleinste Funktionswert, der darunter ist, für größere n nicht mehr erreicht/unterschritten werden kann (Vorher darf man nicht aufhören) Dazu müssten wir aber die Werte der lokalen "Minima" (die Zacken nach unten) kennen - es sind aber genauergesagt linksseitige Grenzwerte, also keine Minima sondern Inifima, denn es gibt immer noch einen x-Wert näher am nächsten Vielfachen von q, dessen Fkt.wert etwas kleiner ist...
Es gibt aber eine einfache Abschätzung: [mm]\bruch{floor(c*n)}{n} > \bruch{c*n-1}{n}=c-\bruch{1}{n}[/mm] die uns weiterhilft! Für jedes n können wir gucken, ob es sich noch lohnt, den Fkt.wert auszurechnen. (Diese "Funktion" von n ist übrigens genau der Bogen im Plot, der die Infima miteinander verbindet, also die unteren Zacken!)
Die "Formel" zur Tiefpunktbestimmung lautet also:
1) Ist [mm]f(n_0)=0[/mm], so ist der Tiefpunkt 0 bei [mm]n_0[/mm]. Andernfalls weiter:
2) Ist [mm]f(n_0) \leq c-\bruch{1}{n_0+1}[/mm], so ist der Tiefpunkt [mm]f(n_0)[/mm] bei [mm]n_0[/mm]. Ansonsten
3) nächstes n, also [mm]n_0+1[/mm] einsetzen und anschließend prüfen, ob das Minimum der bisher berechneten Fkt.werte noch unterschritten werden kann, wenn nicht:Abbruch. Ansonsten
4) solange Schritt 3) wiederholen bis Abbruch.
mfg
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mo 17.10.2005 | | Autor: | mili |
Danke für deine Antwort und die Ideen.
Ich werde mich melden, falls sich noch Probleme ergeben.
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