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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Die Filterkoeffizienten eines idealen Tiefpassfilters mit Grenzfrequenz [mm] $\omega_0\in[0,\frac{1}{2})$ [/mm] sind durch
[mm] $h(n)=2\omega_0 sinc(2\omega_0 [/mm] n)$
mit [mm] $n\in\IZ$ [/mm] gegeben.
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Hallo zusammen!
Zu obiger Aufgabe bin ich mal die Lösung aus der Übung durchgegangen und habe sie etwas ausführlicher aufgeschrieben. Rausgekommen ist dabei folgendes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Allerdings sind da ein paar allgemeine Verständnisfragen aufgetaucht:
Diese Zeichnungen von TP-Filtern, die immer nur so ein Rechteck sind wo der eine Teil 1 ist und der Rest 0, das ist doch die Amplitudenantwort, oder? Steht jedenfalls so auf dem Übungszettel. Bestimmte Frequenzen sollen halt einfach eins zu eins dagelassen werden, und alle anderen sollen abgeschnitten, also zu 0, werden. Da geht's doch nur um die Amplitude, die Phase interessiert hier nicht. Also Amplitudenantwort.
Aber was bezeichnet man denn mit [mm] $H_{\omega_0}(\omega)$? [/mm] Ich kenne [mm] $|H_{\omega_0}(\omega)|$ [/mm] als "Bezeichnung" für die Amplitudenantwort. Deswegen müssten da doch eigentlich, wo ich das Fragezeichen oben drangemalt habe, Betragsstriche stehen, weil es doch die Amplitudenantwort ist und nicht die Frequenzantwort. Und Frequenzantwort ist doch die "komplette" Antwort im Frequenzbereich, oder? (Ich weiß, dass es die Fouriertransformierte der Impulsantwort ist, aber was genau das bedeutet, war mir noch nicht so ganz klar...)
Von daher müsste oben, wo ich Frequenzantwort unterschlängelt habe, eigentlich Amplitudenantwort stehen!? Aber funktioniert dann der ganze Beweis noch? Wenn ich überall Betragsstriche dran machen muss?
Und später beim Integral frage ich mich auch noch, warum da als Grenzen [mm] -\omega_0 [/mm] und [mm] \omega_0 [/mm] stehen. Erstens gilt ja nach der Formel [mm] $H_{\omega_0}(\omega)$, [/mm] dass [mm] $0\le\omega\le\omega_0$ [/mm] und zweitens steht ja in der Zeile drüber als Grenzen 0 und 1, dann wäre das doch gar nicht mehr gleich, oder? Aber wenn ich die Grenzen ändere, kommt da am Ende nicht das raus, was zu zeigen war. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Ist das jetzt ein Fehler in der Lösung oder wieso ist das so?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 So 27.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bastiane,
der Rechnung kann ich nicht so ganz folgen, da hier augenscheinlich eine Diskretisierung vorgenommen wird, über die aber nichts weiter gesagt wird.
Zunächst mal allgemein:
Der ideale Tiefpass erstreckt sich mit seiner Übertragungsfunktion auch über negative Frequenzen. Der Grund ist ganz einfach der, dass sonst bei Beaufschlagung mit einem reellen Signal kein reelles Ausgangssignal entstehen könnte. Insofern ist die Übertragungsfunktion für negative Frequenzen immer konjugiert komplex zu der Übertragungsfunktion für positive Frequenzen. In diesem Falle ist die Übertragungsfunktion sogar reell und da Du ja weisst, dass sich die Phase der Übertragungsfunktion als Arcustangens des Verhältnisses von Imaginärteil zu Realteil der Funktion ergibt, ist bei einem idealen Riefpass die Phase gleich Null. Der Tiefpass ändert also nichts an der Phasenlage des Eingangssignals. Allerdings führt er zu einem nichtkausalen System, da die Antwort auf einen Dirac-Impuls bereits lange vor dem Anlegen des Impulses beginnt. Der Begriff des idealen Tiefpasses mit einer Grenzfrequenz [mm] \omega_0 [/mm] beinhaltet für mich, dass die Übertragungsfunktion negative Frequenzen mit einschließt. Ich hätte einfach folgendermaßen losgelegt:
[mm] \begin{matrix}
h(t)& = & \bruch{1}{2 \pi}\int_{- \omega_0}^{\omega_0} 1 \exp^{j \omega t} d \omega \\
\ & = &\bruch{1}{2 \pi t} \exp^{j \omega t} |_{ - \omega_0}^{\omega_0} \\
\ & = & \bruch{1}{ \pi t} \sin (\omega_0 t) \\
\ & = & \bruch{\omega_0 }{\pi} \cdot \bruch{\sin (\omega_0 t)}{\omega_0 t } \\
\ & = & \bruch{\omega_0 }{\pi} {\rm si} (\omega_0 t)
\end{matrix}
[/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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