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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mo 20.06.2005 | | Autor: | joke |
Hallo alle zusammen,
habe in wenigen Tagen Abi-Prüfung und noch einige theoretische Fragen, für eine ausführliche Antwort wäre ich sehr, sehr dankbar, natürlich habe ich in google gesucht und in wikipedia nachgeschaut aber einige Sachen habe ich nicht ganz begriffen deshalb frage ich hier einfach mal, hoffe ihr könnt mir das erklären
hier meine Fragen:
1) Was ist ein Differentialquotient ?
2) Ableitungen einer Funktion:
Was gibt die erste Ableitung an ? (Soweit ich weiß die Steigung, gibt es dafür noch eine genauere Aussage oder Ergänzungen ? )
Was gibt die zweite Ableitung an ? (Soweit ich weiß die Krümmung, auch augenblickliche Veränderung; eine gute Erklärung wäre wenn man den Anstieg der Arbeitslosigkeit als erste Ableitung annähme und eine Veränderung der Arbeitslosenanzahl als 2. Ableitung ? Habe ich das richtig verstanden und gibt es dazu noch Zusätze ?)
Was wird angegeben wenn ich eine Funktion gleich 0 setze ? (Die Nullpunkte also die Schnittpunkte mit der x-Achse, gibt es dazu noch Ergänzungen ?)
3.) Wovon kommt die partielle Integration ? Ich weiß dass es von der Multiplikationsregel beim differenzieren abstammt, aber wie genau kam das ? Bzw wie wurde umgeformt ?
4.) Wie erkläre ich die Substitution theoretisch ? Und was hat sie mit der Kettenregel zu tun (habe etwas gelesen dass die Substitution davon abstammt aber erkenne keine Gemeinsamkeiten)
Ich probiers mal:
[mm] $\integral_{a}^{b} [/mm] {(2x + 3)² dx}$
um dies integrieren zu können muss ich den Wert innerhalb der Klammer in eine Variable füllen, nennen wir sie mal z, Grund dafür der Wert ist NICHT konstant - ansonsten könnte man einfach durch den Wert dividieren
z = 2x + 3
nun muss dx noch daran angepasst werden dazu wird eine neue Änderungsvariable eingeführt, nennen wir sie dz
$dx/dz = 2$
dx wird durch dz ersetzt
das fertige Integral ergibt
[mm] $\integral_{a}^{b} [/mm] {(z)² dz/2}$
dies kann man jetzt differenzieren und danach wird die Variable wieder durch den "gespeicherten" Wert ersetzt
habe ich das richtig erklärt ? bzw gibt es noch Zusätze
und was sollte ich noch über die Substitution wissen ?
5.) was gibt es sonst noch für theoretische Dinge in der Differenzial- und Integralrechnung die Lehrer gerne fragen ?
6.) Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Woher kommt die Normalverteilung ?
Welche Gemeinsamkeiten haben Binomialverteilung und Normalverteilung ?
7.) Und jetzt die beste Frage ...
Was ist eine Kurvendiskussion (klingt banal aber ich wüsste nicht was ich darauf antworten sollte ... graphische Darstellung einer Kurve ? oder wie beantwortet man diese Frage ?)
Schon mal vielen Lieben Dank an alle die mir helfen, wäre wirklich wichtig wenn ihr mir diese Frage so gut wie möglich beantworten könntet
Grüße, Joke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mo 20.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1) Was ist ein Differentialquotient ?
Es ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. oder geometrisch ausgedrückt der Grenzwert der Sekantensteigung,wenn die Punkte, durch die die Sekante gelegt werden immer näher zusammenrücken.
das 2. macht nur Sinn bei Kurven, das Erste mehr in der Anwendung. In vielen Fällen mochte man etwa bei Funktionen ,die von der Zeit abhängen, die "momentane Äanderung kennen. z. Bsp. kann man nur Durchschnittsgeschwindigkeiten messen [mm] \Delta s/\Delta [/mm] t(Weg2-Weg1)(t2-t1) Wenn man aber den Weg in Abhängikeit von der Zeit kennt, möchte man von der Geschwindigkeit in einem Zeitpunkt reden das ist dann die "momentane" Geschwindigkeit, oder v(t)=ds/dt
>
> 2) Ableitungen einer Funktion:
> Was gibt die erste Ableitung an ? (Soweit ich weiß die
> Steigung, gibt es dafür noch eine genauere Aussage oder
> Ergänzungen ? )
Steigung ist richtig, wenn man dien Graphen einer Funktion ansieht, also müsstest du genauer sagen f'(x) oder df/dx ist die Steigung des GRAPHEN von f(x) (Steigung von f(x) macht keinen Sinn!)
Oder wieder die Momentane (x ist Zeit)bzw lokale (x ist Ort) abezogene Änderung von f
>
> Was gibt die zweite Ableitung an ? (Soweit ich weiß die
> Krümmung, auch augenblickliche Veränderung;
Erst mal ist die 2. Ableitung die Änderung der 1. Ableitung. also da die 1. ableitung die momentane Änderung angibt ist das falsch. Unter Krümmung versteht man die Änderung der Steigung, das bezieht sich wieder auf den GRAPHEN von f. ist aber sonst richtig.
> Erklärung wäre wenn man den Anstieg der Arbeitslosigkeit
> als erste Ableitung annähme und eine Veränderung der
> Arbeitslosenanzahl als 2. Ableitung ?
Habe ich das richtig
> verstanden und gibt es dazu noch Zusätze ?)
Ganz richtig st das nicht: Der "Anstieg der Arbeitslosenzahl pro Zeit ist die erste Ableitung. die 2. Ableitung gibt ein Mass für die Änderung des Anstiegs. Dh etwa, wenn die 2. Ableitung 0 ist (1. ungleich 0) dann wächst (oder fällt)die Arbeitslosenzahl kontinuierlich. wenn die 2. Ableitung pos ist wird der Anstieg immer größer.
Die 2. Ableitung gibt an mit welcher"Beschleunigung" die Arbeitslosenzahl zunimmt.
> Was wird angegeben wenn ich eine Funktion gleich 0 setze ?
> (Die Nullpunkte also die Schnittpunkte mit der x-Achse,
> gibt es dazu noch Ergänzungen ?)
Das Nullsetzen einer Funktion heisst, man will wissen wo die Funktion 0 Ist. z. Bsp bei einer Gewinnfunktion, wann ist der Gewinn grade 0. es ist nur ein Spezialfall des Problems, wann eine Funktion einen bestimmtem Wert annimmt. Beispiel, wann hat ein Auto die Geschwindigket 50 erreicht. statt v(t)=50 rechnet man oft f(t) =v(t)-50=0 Deshalb sind Nullstellenbestimmungen wichtig.
>
> 3.) Wovon kommt die partielle Integration ? Ich weiß dass
> es von der Multiplikationsregel beim differenzieren
> abstammt, aber wie genau kam das ? Bzw wie wurde umgeformt
(uv)' =u'v+uv' ==> u'v = (uv)'-uv'
Wenn du jetzt überall ein Integral drüber schreibst ist Int(uv)' =uv und du hast die Regel
>
> 4.) Wie erkläre ich die Substitution theoretisch ? Und was
> hat sie mit der Kettenregel zu tun (habe etwas gelesen dass
> die Substitution davon abstammt aber erkenne keine
> Gemeinsamkeiten)
>
> Ich probiers mal:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} {(2x + 3)² dx}[/mm]
>
> um dies integrieren zu können muss ich den Wert innerhalb
> der Klammer in eine Variable füllen, nennen wir sie mal z,
Ausdrucksweise schlecht: man kann etwas nicht in eine Variable füllen. die innere Funktion, die hier auftritt nenne ich z (eigentlich z(x)) wenn du sie g nennst siehst du die Kettenregel besser.
Integral [mm] g^{2}dg [/mm] kannst du aber du hast ja Integral [mm] g^{2}dx [/mm] und jetzt die Kettenregel allgemein, statt dem Quadrat f: f(g)dg Die Stammfunktion sie F(g) dann gilt dF(g)/dg =f(g)
dF(g(x))/dx=dF(g)/dg*dg/dx =f(g(x)) also hast du das Integral (dF(g)/dg*dg/dx *dx) dx kürzt sich formal und du bist fertig. Die viel kürzere Anwendung hast du im Beispiel gut beschrieben.
> Grund dafür der Wert ist NICHT konstant - ansonsten könnte
> man einfach durch den Wert dividieren
>
> z = 2x + 3
>
> nun muss dx noch daran angepasst werden dazu wird eine neue
> Änderungsvariable eingeführt, nennen wir sie dz
>
> [mm]dx/dz = 2[/mm]
>
> dx wird durch dz ersetzt
>
> das fertige Integral ergibt
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b} {(z)² dz/2}[/mm]
>
> dies kann man jetzt differenzieren und danach wird die
> Variable wieder durch den "gespeicherten" Wert ersetzt
>
> habe ich das richtig erklärt ? bzw gibt es noch Zusätze
>
> und was sollte ich noch über die Substitution wissen ?
>
> 5.) was gibt es sonst noch für theoretische Dinge in der
> Differenzial- und Integralrechnung die Lehrer gerne fragen
Fragen: Wieso ein Extremwert wenn f'=0? reicht das für Extremwert? warum nicht. wieso Maxx. wenn f'00 und f''<0
wieso Wendepkt wenn f''=0 reicht das weisst du ein Gegenbeispiel?
>
> 6.) Wahrscheinlichkeitsrechnung:
>
> Woher kommt die Normalverteilung ?
>
> Welche Gemeinsamkeiten haben Binomialverteilung und
> Normalverteilung ?
> 7.) Und jetzt die beste Frage ...
>
> Was ist eine Kurvendiskussion (klingt banal aber ich wüsste
> nicht was ich darauf antworten sollte ... graphische
> Darstellung einer Kurve ? oder wie beantwortet man diese
> Frage ?)
Man will das Verhalten einer Funktion kennen. dabei interessiert i:A. wo sie bestimmte Werte annimmt, wo sie Maximal ist, wo minimal, wo eine Wende im Verhalten eintritt, wie sie (wenn x die Zeit ist) in weiter Zukunft sein wird. Denk etwa an den CO2 Gehalt der Luft, falls man dafür eine Fkt. hat ist das alles interessant, auch wie es von einem Parameter (etwa Zahl der Autos oder dergl. abhängt.) Oder Börsenkurse, oder Gewinnfunktionen usw.
Die Wahrscheinlichkeitsrechng. muss wohl wr anders machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mo 20.06.2005 | | Autor: | joke |
Vielen Dank erstmal dir, dass du die Mühe angetan hast
habe es gerade ausgedruckt und lese es durch, wenn noch Fragen sind werde ich die hier noch stellen
Wenn jemand noch ein paar Dinge zur 6. Frage parat hätte würde mir helfen
Und nochmals vielen Dank an dich leduart !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 20.06.2005 | | Autor: | joke |
So ich versuche jetzt noch die Fragen zu beantworten die du mir noch gegeben hast
>Wieso Extremwert wenn f'=0 ?
Weil die Steigung der Kurve in diesem Punkt 0 ist, die Tangente daher auf der Kurve "aufliegt"
>Reicht dies für Extremwert ?
Nein denn man muss noch wissen ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, das überprüft man indem man den erhaltenen Extrempunkt in f'' einsetzt, wenn der Wert größer 0 ist, ist es ein Minimum wenn der Wert negativ ist ein Maximum
Warum das so ist (also f''<0 Max und f''>0 Min) weiß ich nicht, vielleicht kannst du mir das noch erklären !!!
Wenn f' und f'' = 0 dann ist es ein Sattelpunkt, da die Steigung in diesem Punkt 0 ist und die Krümmung ebenfalls, es erfolgt keine momentane Änderung
>Wieso Wendepunkt wenn f'' = 0 ?
Es erfolgt in diesem Punkt keine momentane Veränderung, dies deutet darauf hin dass sich das Krümmungsverhalten ändert (die Richtung) ? Richtig ? KAnn ich das besser erklären ?
>Weißt du ein Gegenbeispiel ?
Diese Frage habe ich jetzt nicht verstanden ? was meinst du damit ? Sattelpunkt ?
Das mit dem Differenzenquotient und Differentialquotient habe ich immer noch nicht verstanden, ist der Differentialquotient das dx ? Oder für was genau braucht man den ?
Du hast gesagt eine Variable kann man nicht füllen, was macht man dann mit einer Variable ? gleichsetzen oder wie würdest du sagen ?
Grüße, Joke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 20.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Joke
> >Wieso Extremwert wenn f'=0 ?
>
> Weil die Steigung der Kurve in diesem Punkt 0 ist, die
> Tangente daher auf der Kurve "aufliegt"
Tangenten liegen überall auf, das ist zu unpräzise. An einer Extremstelle ist die Steigung 0 bzw. die Kurve geht vom Steigen f'>0 in Fallen f'<0 (max) oder umgekehrt (min) dh. f'=0 an der Stelle
> >Reicht dies für Extremwert ?
Nein! Gegenbeispiel [mm] x^{3} [/mm] an der Stelle 0 f'(0)=0 kein Extremwert. wenn [mm] f''\ne [/mm] 0 hat man einen Extremwert. aber auch das reicht nicht immer
Gegenbeispiel f(x) [mm] x^{4} [/mm] an der Stelle 0 f'(0)=0;f''(0)=0 trotzdem Extremwert. erst f''''(0) >0.
>
> Nein denn man muss noch wissen ob es sich um ein Maximum
> oder Minimum handelt, das überprüft man indem man den
> erhaltenen Extrempunkt in f'' einsetzt, wenn der Wert
> größer 0 ist, ist es ein Minimum wenn der Wert negativ ist
> ein Maximum
>
> Warum das so ist (also f''<0 Max und f''>0 Min) weiß ich
> nicht, vielleicht kannst du mir das noch erklären !!!
ich hab oben schon erklärt, bei max geht die Kurve vn steigen in fallen über ,d.h. f' ist erst pos dann negativ d.h. f' ist fallend also (f')'<0 Argument bei min umgekehrt, f' steigend
> Wenn f' und f'' = 0 dann ist es ein Sattelpunkt, da die
> Steigung in diesem Punkt 0 ist und die Krümmung ebenfalls,
> es erfolgt keine momentane Änderung
siehe oben [mm] x^{4}
[/mm]
>
> >Wieso Wendepunkt wenn f'' = 0 ?
> Es erfolgt in diesem Punkt keine momentane Veränderung,
was meinst du mit "keine momentane Veränderung" von was? doch von f'
> dies deutet darauf hin dass sich das Krümmungsverhalten
> ändert (die Richtung) ? Richtig ? KAnn ich das besser
> erklären ?
hoffentlich ja! Worte wie "deutet daraufhin" sollte man in der exakten Mathe nicht verwenden, wenn es was genaueres gibt. Bleib dabei, die zweite Ableitung gibt die Steigung bzw, Änderungsverhalten der ersten Ableitung an. f''=0 heisst f' hat ein Max. oder Min. erstmal f''=0 f'''<0 also f' hat max heisst es ändert sich an dieser Stelle nicht geht aber vom Steigen in Fallen über und d.h. die Kurve selbst geht vom Steigen in Steigen bzw Fallen in Fallen über aber hat einen Ruhepunkt des Steigens. Wenn du das gefragt wirst, mach eine Zeichnung von f mit wendepkt, skizziere f' und f'', dann ist es leichter als nur mit Worten
>
> >Weißt du ein Gegenbeispiel ?
> Diese Frage habe ich jetzt nicht verstanden ? was meinst
> du damit ? Sattelpunkt ?
Gemeint war f''=0 und kein Wendepkt: Beispiel [mm] x^{4} [/mm] bei 0
>
>
>
> Das mit dem Differenzenquotient und Differentialquotient
> habe ich immer noch nicht verstanden, ist der
> Differentialquotient das dx ? Oder für was genau braucht
> man den ?
[mm] \bruch [/mm] {dy}{dx} heisst Differentialquotient. aber f' ist auch ein Differentialquotient die erste Schreibweise erinnert nur mehr an den Übergang von [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] und in manchen Situationen kann man damit umgehen, wie mit einem Bruch: Beispiel deine Substitutionsregel:z'=2 [mm] \bruch [/mm] {dz}{dx}=2
dz=2dx das ist eigentlich zu beweisen, mit lim, tut man aber nicht, weil es richtig ist. man muss aber vorsichtig sein! (kommt nicht im Abi, lernst du auf der Uni, wenn du Mathe odr so machst)
>
> Du hast gesagt eine Variable kann man nicht füllen, was
> macht man dann mit einer Variable ? gleichsetzen oder wie
> würdest du sagen ?
ich würde sagen: ich nenne die Funktion 2x+3 z oder ich ersetze den Ausdruck 2x+3 durch z
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Di 21.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Joke!
> 6.) Wahrscheinlichkeitsrechnung:
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> Woher kommt die Normalverteilung ?
Sie ergibt sich nach dem Zentralen Grenzwertsatz in natürlicher Weise als Grenzverteilung der standardisierten Summen unabhängiegr Zufallsvariablen (unter bestimmten technischen Bedingungen). Als Spezialfall ist hier der Grenzwertsatz von Moivre und Laplace zu nennen, nachdem eine standardisierte $B(n,p)$-verteilte Zufallsvariable [mm] $S_n$ [/mm] "für hinreichend große $n$" näherungsweise standardnormalverteilt ist. Genauer:
Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $S_n$ [/mm] eine $B(n,p)$-verteilte Zufallsvariable mit $0<p<1$. Dann gilt für die Folge [mm] $S_1,S_2,\ldots$ [/mm] und jedes $x [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} [/mm] P [mm] \left( \frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \le x \right) [/mm] = [mm] \Phi(x)$,
[/mm]
wobei [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist, also:
[mm] $\Phi(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{- \infty}^x e^{ - \frac{t^2}{2}}\, [/mm] dt$.
> Welche Gemeinsamkeiten haben Binomialverteilung und
> Normalverteilung ?
Sie sind beide symmetrisch zum Erwartungswert und "haben in der Umgebung des Erwartungswertes die größte Masse".
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Di 21.06.2005 | | Autor: | joke |
Vielen Dank auch für deine Ausführungen :) wenn noch Fragen sind werde ich sie stellen
Liebe Grüße, Joke
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