Textaufgabe Lin. A. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es trug sich zur Weihnacht zu, dass sich der Weihnachtsmann (W) und ein Engelchen (E)
trafen.
W: Mist, selbst zum Feste gibts ¨Ubungsaufgaben.
E: Voll interessant, zeig mal her!
W: Ich w¨urde jetzt lieber Glühwein als das blöde Horner Schema anwenden.
E: Horner Schema ist doch locker.
W: Na hier, ein Polynom f ∈ R[X] zweiten Grades und ich muß f(3) bestimmen.
E: Krass, so leichte Übungsaufgaben m¨ochte ich auch mal haben. Ich zeige dir
mal, wies geht.
Blitzschnell multipliziert und addiert das Engelchen und berechnet so f(0) = 9, f(1) = 7
und f(4) = 25.
E: Siehste. Null Problemo.
W: Und was ist mit f(3)?
E: Hömma, dat musste schon selber rauskriegen, sonst Glühhwein adé.
Verhelfen Sie dem Mann zu seinem Glühhwein, indem Sie zeigen, dass die Abbildung die
einem Polynom f vom Grad kleiner gleich zwei den Vektor
[mm] \vektor{f(0) \\ f(1) \\ f(4)} [/mm] ∈ [mm] \IR_{3} [/mm] zuordnet
einen Isomorphismus [mm] R[X]_{2} [/mm] → [mm] \IR_{3} [/mm] von Vektorräumen definiert. Geben Sie die inverse
Abbildung an und berechnen Sie (mit oder ohne Horner Schema) den Wert f(3).
Weihnachtszugabe: Bei dieser Aufgabe gibt es f(3) Punkte! |
Hallo Leute
Ich hab diese Aufgabe geschickt bekommen und weiss überhaupt nicht wie ich da ran gehen soll :-( . Kann mir dabei jemand helfen? Wie das Horner Schema funktioniert is mir schon klar, aber so ganz ohne Polynome weiss ich net, wie man das zurückrechnen kann.
Meines erachtens kann man den Vektor [mm] \vektor{f(0) \\ f(1) \\ f(4)} [/mm] ∈ [mm] \IR_{3} [/mm] auch als [mm] \vektor{9 \\ 7 \\ 25} [/mm] ∈ [mm] \IR_{3} [/mm] schreiben. Mehr Ideen hab ich aber leider net :-( .
Bis denne, Matze.
PS, was heisst [x] (also die eckigen Klammern)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Sa 06.01.2007 | | Autor: | youngindy |
Also, ich bin mittlerweile schon soweit, dass ich über ein LGS den Wert von f(3) ausrechnen konnte. Der müsste 15 sein. Aber meine neue Frage ist nun: wie weise ich den Isomorphismus nach? Das ist doch nix anderes als eine bijektive Abbildung, oder? Nur am Beweis hapert's leider :-(
Kann mir dabei jemand helfen? Das wär toll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Sa 06.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
erstmal zu Deiner Mitteilung: Ein Isomorphismus ist nicht einfach nur irgendeine bijektive Abbildung, sondern eine bijektive lineare Abbildung. Die Linearität mußt Du also auch zeigen. Das kannst Du zum Beispiel machen, indem Du die Definition nachrechnest. Etwas einfacher ist es vielleicht eine Matrix dafür anzugeben. Dafür mußt Du vorher eine geeignete Basis von [mm] $\IR[X]_2$ [/mm] wählen. (Zum PS: Für einen Ring $R$ meint $R[X]$ den Ring der Polynome in der Variablen $X$ mit Koeffizienten aus $R$).
Für die Bijektivität reicht es aus, wenn Du eine Umkehrabbildung angibst. Das ist ja sowieso verlangt. Auch hier würde ich wieder die Matrix benutzen. Die Umkehrabbildung kannst Du dann auch direkt auf Deinen Vektor anwenden, um das Polynom $f$ auszurechnen.
Hoffe, das hilft.
PS: Ich habe auch $f(3) = 15$ raus.
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