Textaufgabe < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mo 27.05.2013 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | In einem Stadtteil von Düsseldorf ist das Dach eines Kirchtumrs baufällig und muss erneuert werden.Die Vermessung des Kirchtumrsdaches ergibt in einem lokalen Koordinatensystem die Eckpunkte P(3/-3/0),Q(3/3/0),R(-3/3/0),T(-3/-3/0) sowie die Spitze U(0/0/6).(Angaben in m)
c)Ermitteln Sie den Neigungswinkel ß der Dachkante RU gegen den Dachboden
f)In die Dachfläche QRU ist eine kleine Dachluke eingebaut.Der Mittelpunkt S dieser Luke liegt senkrecht über dem Punkt A(0/2/0).Ermitteln Sie die Höhe. |
Hallo :)
Ich komme bei den Aufgaben nicht auf die richtige Lösung:
Bei der Aufgabe c) habe ich den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene x1x2 und dem Richtungsvektor der Gerade g,die durch die Punkte R und U verläuft,berechnet:
[mm] n1:\vektor{0\\ 0\\ 1}
[/mm]
n2:
g1:
R(-3/3/0)=Stützvektor
[mm] \overrightarrow{RU}= \vektor{0\\ 0\\ 6} -\vektor{3\\ -3\\ 0} =\vektor{3\\ -3\\ 6}
[/mm]
[mm] g:\vec{x}=\vektor{3\\ -3\\ 0} +s*\vektor{3\\ -3\\ 6}
[/mm]
[mm] cos^{-1}(ß)=\bruch{(\vektor{0\\ 0\\ 1}*\vektor{3\\ -3\\ 6}
}{1*3\wurzel{6}}
[/mm]
ß=35,26°
Im Lösungsbuch aber arbeiten sie mit der Geradengleichung [mm] g:\vec{x}=\vektor{3\\ -3\\ 0} +s*\vektor{1\\ -1\\ 2} [/mm] und sie rechnen den sin(ß) aus?
f)
Bei der Aufgabe f) sucht man den kleinsten Abstand zwischen dem Punkt A und der Ebene S.Also habe ich die Hessche Normalenfrm aufgestellt und den Punkt A eingesetzt:
[mm] (\vektor{0\\ 2\\ 0}-\vektor{3\\ 3\\ 0})*\vektor{0\\ \bruch{2}{\wurzel{5}}\\\bruch{1}{\wurzel{5}} }=0
[/mm]
[mm] \vektor{-3\\ -1\\ 0}*\vektor{0\\ \bruch{2}{\wurzel{5}}\\\bruch{1}{\wurzel{5}} }=0,11 [/mm] m
Laut Lösungsbuch kommt aber 2 m heraus und sie haben einen ganz anderen Ansatz gewählt. Sie berechnen die Gerade g die durch den Punkt A verläuft und orthogonal zur Ebene QRU ist, und bestimmen den Schnittpunkt S.Anschließend berechnen sie die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{AS}.
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!! :)
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> In einem Stadtteil von Düsseldorf ist das Dach eines
> Kirchtumrs baufällig und muss erneuert werden.Die
> Vermessung des Kirchtumrsdaches ergibt in einem lokalen
> Koordinatensystem die Eckpunkte
> P(3/-3/0),Q(3/3/0),R(-3/3/0),T(-3/-3/0) sowie die Spitze
> U(0/0/6).(Angaben in m)
> c)Ermitteln Sie den Neigungswinkel ß der Dachkante RU
> gegen den Dachboden
> f)In die Dachfläche QRU ist eine kleine Dachluke
> eingebaut.Der Mittelpunkt S dieser Luke liegt senkrecht
> über dem Punkt A(0/2/0).Ermitteln Sie die Höhe.
> Hallo :)
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> Ich komme bei den Aufgaben nicht auf die richtige Lösung:
> Bei der Aufgabe c) habe ich den Winkel zwischen dem
> Normalenvektor der Ebene x1x2 und dem Richtungsvektor der
> Gerade g,die durch die Punkte R und U verläuft,berechnet:
>
> [mm]n1:\vektor{0\\ 0\\ 1}[/mm]
>
> n2:
> g1:
>
> R(-3/3/0)=Stützvektor
>
> [mm]\overrightarrow{RU}= \vektor{0\\ 0\\ 6} -\vektor{3\\ -3\\ 0} =\vektor{3\\ -3\\ 6}[/mm]
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> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3\\ -3\\ 0} +s*\vektor{3\\ -3\\ 6}[/mm]
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> [mm]cos^{-1}(ß)=\bruch{(\vektor{0\\ 0\\ 1}*\vektor{3\\ -3\\ 6}
}{1*3\wurzel{6}}[/mm]
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> ß=35,26°
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> Im Lösungsbuch aber arbeiten sie mit der Geradengleichung
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3\\ -3\\ 0} +s*\vektor{1\\ -1\\ 2}[/mm] und
> sie rechnen den sin(ß) aus?
Das ist auch korrekt. Der Vektor ist nur durch 2 gekürzt. Daher ist bei dir alles bis auf den Sinus identisch. Der kommt daher, dass der cosinus nur für zwei Vektoren gilt. Du hast aber nicht zwei Geraden, bei denen du die Richtungsvektoren quasi schneidest, sondern du hast eine EBENE und eine Gerade! Schau nochmal in dein Mathebuch. Der Winkel zwischen Ebene und Gerade mittels Richtungsvektor und NORMALENVEKTOR berechnet sich aus dem Sinus, weil der Winkel, den du mit cosinus berechnen würdest, ein anderer ist, als der, den du suchst. Du suchst ja nicht den Winkel zwischen Richtungsvektor und n, sondern quasi den daneben zwischen Horizontale und Gerade.
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> f)
> Bei der Aufgabe f) sucht man den kleinsten Abstand
> zwischen dem Punkt A und der Ebene S.Also habe ich die
> Hessche Normalenfrm aufgestellt und den Punkt A
> eingesetzt:
>
> [mm](\vektor{0\\ 2\\ 0}-\vektor{3\\ 3\\ 0})*\vektor{0\\ \bruch{2}{\wurzel{5}}\\\bruch{1}{\wurzel{5}} }=0[/mm]
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> [mm]\vektor{-3\\ -1\\ 0}*\vektor{0\\ \bruch{2}{\wurzel{5}}\\\bruch{1}{\wurzel{5}} }=0,11[/mm]
> m
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> Laut Lösungsbuch kommt aber 2 m heraus und sie haben einen
> ganz anderen Ansatz gewählt. Sie berechnen die Gerade g
> die durch den Punkt A verläuft und orthogonal zur Ebene
> QRU ist, und bestimmen den Schnittpunkt S.Anschließend
> berechnen sie die Länge des Vektors [mm]\overrightarrow{AS}.[/mm]
Auch das ist korrekt. Die gesuchte Höhe ist SENKRECHT! Wenn du aber, wie du mit der Abstandsformel eines Punktes zur Ebene getan hast, den senkrechten Abstand von A zur Dachfläche berechnest, berechnest du ja nicht die Höhe! Mal es dir mal auf! Was du berechnet hast, ist der kürzeste, direkte Abstand von A zur Dachfläche. Damit geht der Verbindungsvektor von A senkrechtdurch das Dach. So ist die Aufgabe aber nicht gemeint. Gesucht ist die Höhe! Damit muss der Verbindungsvektor von A senkrecht nach oben gehen und die Dachfläche durchstoßen. Damit musst du mit einer Hilfsgeraden rechnen und den Schnittpunkt bestimmen
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> Vielen Dank im Voraus!! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Di 28.05.2013 | | Autor: | luna19 |
danke für die Antwort!!,ich habe es nun verstanden und bekomme nun auch die richtigen Ergebnisse heraus :)
(zu c) Ich habe den Nebenwinkel berechnet,den ich von 90° abziehen muss und dann komme ich auch auf die richtige Lösung. Ich muss also nicht unbedingt mit den Sinus arebiten,wir haben das im Unterricht nicht gemacht :) )
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