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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 So 06.05.2012 | | Autor: | Torina |
| Aufgabe | Ein Flugzeug wird im Punkt P (1/4/2) geortet (Einheiten in km). Die Richtung und die Geschwindigkeit des Flugzeuges im Punkt P können durch den Vektor [mm] \vec v [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 300 \\ -100 \\ 200 \end{pmatrix} [/mm] (Angaben in km/h) beschrieben werden. Die Koordinaten von [mm] \vec v [/mm] geben die Richtung an und der Betrag von [mm] \vec v [/mm] die Geschwindigkeit.
a) Wo befindet sich das Flugzeug nach 1h (2,5h; 250 min)?
b) Wie schnell fliegt das Flugzeug?
c) In einer Höhe von 4km befindet sich eine dichte Wolkendecke. An welchem Punkt durchstößt das Flugzeug die Wolkendecke? Wie lange benötigt es vom Ortungspunkt P bis dorthin? |
a) Da die Geschwindigkeit ja der Betrag von [mm] \vec v [/mm] ist, bin ich davon ausgegangen, dass eben diese Strecke in einer Stunde (wegen km/h) zurückgelegt wird.
Also:
[mm] \vec x [/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + 1 * [mm] \begin{pmatrix} 300 \\ -100 \\ 200 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 301 \\ -96 \\ 202 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec x [/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + 2,5 * [mm] \begin{pmatrix} 300 \\ -100 \\ 200 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 751 \\ -246 \\ 502 \end{pmatrix} [/mm]
Da die Angaben in Stunden sind, hab ich die Minuten auf Stunden umgerechnet. 250 min = 4,17 h
[mm] \vec x [/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + 4,17 * [mm] \begin{pmatrix} 300 \\ -100 \\ 200 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1252 \\ -413 \\ 836 \end{pmatrix} [/mm]
b) Hier habe ich den Betrag, also die Länge von [mm] \vec v [/mm] ausgerechnet.
[mm]\left| \vec v \right| [/mm] = [mm] \wurzel{300^2 + (-100)^2 + 200^2} [/mm] = 374,17
Das Flugzeug fliegt also mit einer Geschwindigkeit von 374,17 km/h.
c) Ich habe hier überlegt, dass sich die Höhe ja auf die [mm] x_3 [/mm] (oder z) Koordinate beziehen muss.
Also:
[mm] \vec x [/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + t * [mm] \begin{pmatrix} 300 \\ -100 \\ 200 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
Dann habe ich das Ganze nach t aufgelöst.
2 + 200t = 4 /-2
200t = 2 / /200
t = 0,01.
Eingesetzt bedeutet das: [mm] \vec x [/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + 0,01 * [mm] \begin{pmatrix} 300 \\ -100 \\ 200 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
Das Flugzeug durchstößt im Punkt (4/3/4) die Wolkendecke.
Die Zeit ist ja t, somit 0,01 h oder umgerechnet ca. 0,6 min.
Stimmt das so?
Viele Grüße und vielen Dank.
Torina
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Hallo,
> Ein Flugzeug wird im Punkt P (1/4/2) geortet (Einheiten in
> km). Die Richtung und die Geschwindigkeit des Flugzeuges im
> Punkt P können durch den Vektor [mm]\vec v[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 300 \\
-100 \\
200 \end{pmatrix} [/mm]
> (Angaben in km/h) beschrieben werden. Die Koordinaten von
> [mm]\vec v[/mm] geben die Richtung an und der Betrag von [mm]\vec v[/mm] die
> Geschwindigkeit.
>
> a) Wo befindet sich das Flugzeug nach 1h (2,5h; 250 min)?
> b) Wie schnell fliegt das Flugzeug?
> c) In einer Höhe von 4km befindet sich eine dichte
> Wolkendecke. An welchem Punkt durchstößt das Flugzeug die
> Wolkendecke? Wie lange benötigt es vom Ortungspunkt P bis
> dorthin?
> a) Da die Geschwindigkeit ja der Betrag von [mm]\vec v[/mm] ist,
> bin ich davon ausgegangen, dass eben diese Strecke in einer
> Stunde (wegen km/h) zurückgelegt wird.
> Also:
>
> [mm]\vec x[/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\
4 \\
2 \end{pmatrix}[/mm] + 1 *
> [mm]\begin{pmatrix} 300 \\
-100 \\
200 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 301 \\
-96 \\
202 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec x[/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\
4 \\
2 \end{pmatrix}[/mm] + 2,5 *
> [mm]\begin{pmatrix} 300 \\
-100 \\
200 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 751 \\
-246 \\
502 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Da die Angaben in Stunden sind, hab ich die Minuten auf
> Stunden umgerechnet. 250 min = 4,17 h
>
> [mm]\vec x[/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\
4 \\
2 \end{pmatrix}[/mm] + 4,17 *
> [mm]\begin{pmatrix} 300 \\
-100 \\
200 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1252 \\
-413 \\
836 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> b) Hier habe ich den Betrag, also die Länge von [mm]\vec v[/mm]
> ausgerechnet.
>
> [mm]\left| \vec v \right|[/mm] = [mm]\wurzel{300^2 + (-100)^2 + 200^2}[/mm]
> = 374,17
>
> Das Flugzeug fliegt also mit einer Geschwindigkeit von
> 374,17 km/h.
>
> c) Ich habe hier überlegt, dass sich die Höhe ja auf die
> [mm]x_3[/mm] (oder z) Koordinate beziehen muss.
>
> Also:
> [mm]\vec x[/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\
4 \\
2 \end{pmatrix}[/mm] + t *
> [mm]\begin{pmatrix} 300 \\
-100 \\
200 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\
x_2 \\
4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann habe ich das Ganze nach t aufgelöst.
>
> 2 + 200t = 4 /-2
> 200t = 2 / /200
> t = 0,01.
>
> Eingesetzt bedeutet das: [mm]\vec x[/mm] =[mm] \begin{pmatrix} 1 \\
4 \\
2 \end{pmatrix}[/mm]
> + 0,01 * [mm]\begin{pmatrix} 300 \\
-100 \\
200 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\
3 \\
4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das Flugzeug durchstößt im Punkt (4/3/4) die Wolkendecke.
>
> Die Zeit ist ja t, somit 0,01 h oder umgerechnet ca. 0,6
> min.
>
> Stimmt das so?
es ist alles richtig.
Zu einer Stelle eine Anmerkung: ich würde (bspw. im Rahm,en von Prüfungen) stets so exakt wie möglich rechnen (das Fach heißt schließlich analytische Geometrie). Von daher würde ich für den Ort nach 250 min. nicht mit einem gerundeten Wert, sondern mit
[mm] t=\bruch{250}{60}=\bruch{25}{6}
[/mm]
rechnen. Aber das ist eigentlich schon fast eine ästhetische Frage. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 So 06.05.2012 | | Autor: | Torina |
Dankeschön für die schnelle Antwort, das versuch ich mir zu merken. :)
Viele Grüße
Torina
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