Textaufgabe < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Nährlösung enthielt zu Beginn der Beobachtung 3000 Bakterien, nach 20Stunden 50000. Untersuchungen ergaben, dass in diesem Zeitraum die Geschwindigkeit, mit der sich die Bakterien vermehren, proportional zur momentanen Bakterienzahl ist.
a)Stellen Sie die Diffrenzialgleichung auf, die dieses Wachstum beschreibt, und bestimmen Sie die zugehörige Wachstumsfunktion.
b) Wann enthielt die Nährlösung 18000 Bakterien? Berechnen Sie die Verdopplungszeit. |
Hey Leute!
In dem Unterricht wo wir solche Aufgaben besprochen hatten war ich Krank und in der Klausur sind solche Aufgaben vorgekommen hab ich gehört.
a)Was ist genau mit der Diffrenzialgleichung gemeint? f'(t)=k*f(t) ist das gemeint also f'(x) proprotional zu f(x), wie würde die Diffrenzialgleichung für diese Aufgabe aussehen?.Die Wachstumsfunktion wäre ganz einfach:
[mm] 50000=3000*q^{20}
[/mm]
q=1,15
also die Funktion: [mm] y=3000*1,15^{x}
[/mm]
b)
[mm] 18000=3000*1,15^{x}
[/mm]
[mm] \bruch{log(6000)}{log(1,15)}=x
[/mm]
????
Gruss
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Sa 08.12.2007 | | Autor: | legris |
Hallo,
Die Differentialgleichung stimmt schon mal: f'(t)=q*f(t). Die Lösung dazu lautet [mm] f(t)=C*e^{qt}, [/mm] wobei C eine zu bestimmmende Konstante ist. Nun kannst du die Anfangsbedinung f(0)=3000 einsetzen und C bestimmen:
=> [mm] f(t)=3000*e^{qt}
[/mm]
Wenn du das gemacht hast, kannst du auch noch q ausrechnen mit f(20h)=50000. Daraus folgt dann:
[mm] 3000*e^{20q}=50000
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
q = [mm] \bruch{1}{20}* ln(\bruch{50}{3})
[/mm]
Dann hast du die Wachstumsfunktion!
b) sollte nun klappen
|
|
|
| |
|
ok danke! Ich hab ein paar wachstumsfunktionen gemacht, die waren aber ohne der eulerschen zahl. Wann weiß ich ob ch wie oben die aufgabe rechnen kann oder einfach [mm] y=G*q^{x}???
[/mm]
und zu
[mm] q=\bruch{1}{20}*ln(\bruch{50}{3})
[/mm]
kann mir jemand diese regeln erklären, wie mach zu dieser rechnung kommt?
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:47 So 09.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
es gilt [mm] e^{qt}=e^{q*t}=(e^{q})^{t}\approx1,15^{t} [/mm] mit [mm] q=\bruch{1}{20}\cdot{} ln(\bruch{50}{3})
[/mm]
D.h. die beiden Funktionen sind die gleichen. Deine Ergebnisse stimmen also auch.
Es ist nur so, dass man beim Lösen einer solchen Differentialgleichung immer die e-Funktion erhält.
Wenn im Aufgabentext steht, dass du die Differentialgleichung lösen sollst, wirst du wohl auch die e-Funktion anwenden müssen. Falls dort jedoch nur "bestimmen Sie die zugehörige Wachstumsfunktion" steht, zwingt dich niemand dazu. Um sicher zu gehen am besten nochmal in der Klasse fragen wie es im Unterricht gerechnet wurde.
[mm] 3000\cdot{}e^{20q}=50000 [/mm] mit /:3000 /ln() /:20 führt zu q=...
Ciao
|
|
|
|
