Textaufgabe:( < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Löse folgende Aufgabe: |
Durch ft (x)= x³- (4t-t³)x², t größergleich 0 ist eine Funktionenschar gegeben
a)Zeichnen Sie den Graphen für t= 0, 0,5, 1, 2, 2,5 in ein gemeinsames Achsenkreuz
b)Für wechen Wert von t liegt der Wendepunkt am weitesten rechts?
c) Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt am tiefsten?
...Hat davon auch jemand ne Ahnung ? Ich weiß noch nicht mal, was eine Funktionenschar ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja, Funktionsscharen sind eine Menge von Funktionen. Wenn du in ft (x)= x³- (4t-t³)x² für das t verschiedene Zahlen einsetzt kriegst du viele verschiedene Funktionen raus, die alle ca. gleich sind, aber trotzdem anders :) mehr oder weniger "gebogen" z.B.
Guck dir mal den Anhang von meinem Post an!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Oder z.B. ft(x)=tx²
Alles beschreibt eine Parabel, aber wie sehr sie gestaucht/gestreckt ist kommt auf das t an, was du da einsetzt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
kannst du hier mal drüber gucken:(
ft (x)= x³- (4t-t³)x²
ft'(x) = 3x² - (8t - 2t³)x
ft''(x) = 6x - 8t + 2t³
ft'''(x) = 6
6x - 8t + 2t³ = 0
6x = 8t - 2t³
x = 4/3 * t - 1/3 * t³
x(t) = 4/3 * t - 1/3 *t³
x'(t) = 4/3 - t
x''(t) = -1
4/3 - t = 0
t = 4/3
c)
W (4/3 * t - 1/3 *t³ / - 2/27 * (4t - t³)³ )
.
y'(t) = -2/27 * (4 - 3t²) * (3 (4t - t³))²
4 - 3t² = 0
-3t² = -4
t² = 4/3
t = +- sqrt(4/3)
oder
4 t - t³ = 0
t = +- 2 oder t = 0
SOOO? und danke für den anhang:( aber trotzdem kann ich das noch nich so zeichnen....wie verschiebt sich das denn genau:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Also die ganzen Ableitungen stimmen :)
Naja, also wenn du in ft(x)= x³- (4t-t³)x² für das t 1 einsetzt, dann kannst du ja vereinfachen bis zum geht nicht mehr :) das wären f(x)=x³-3x² und das kannst du mithilfe einer Wertetabelle recht gut skizzieren. Genau das gleiche mit den anderen Werten für t. Es ist recht anstrengend, aber naja, wenn's die Aufgabe so verlangt :) Dann könntest du auch einfach ablesen wo der Wendepunkt am weitesten rechts oder unten ist, wenn du es gut gezeichnet hast.
Oder du nimmst die 2. Ableitung und setzt diese 0. Für das t setzt du nacheinander einfach mal alle Werte ein und guckst wo der x-Wert am größten ist.
Dann kannst auch auch noch die y-Werte der Wendepunkte ausrechnen und siehst ja welcher davon am kleinsten ist :)
Edit: Ich sehe, du hast das ja schon gemacht.
6x - 8t + 2t³ = 0
6x = 8t - 2t³
x = 4/3 * t - 1/3 * t³
So ist das richtig.
Da brauchst du nur noch alle ts, die dir vorgegeben waren durchtesten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
und wie teste ich das durch:( mein kopf tut schon weh:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Vielleicht denkst du dir das einfach zu kompliziert :) du nimmst deine Wendepunktformel
x = 4/3 * t - 1/3 * t³
Und setzt einfach mal für t 0 ein und schreibst dir das Ergebnis auf. Der Wendepunkt würde hier also die x-Koordinate 0 haben.
Ok, weiter gehts, du setzt für t 0,5 ein. Dafür würdest du x= [mm] \bruch{5}{8}, [/mm] was ja erstmal am weitesten rechts liegt.
Für t=1 erhälst du x=1, ok.
Und für t=2 schwingt die x-Koordinate vom Wendepunkt wieder zurück auf 0.
Und für t=2,5 ist x sogar noch weiter links, bei [mm] -\bruch{15}{8}.
[/mm]
Naja, dann siehst du ja schon, dass der Wendepunkt für t=1 den größten x-Wert hat :)
Jetzt müsstest du nur von allen Wendepunkten die y-Koordinate ausrechnen, also in deine erste Gleichung (ft (x)= x³- (4t-t³)x²) t=0 und als x-Wert 0 einsetzen.
Dann t=0,5 und [mm] x=\bruch{5}{8}.
[/mm]
Das probierst du so mit jedem 2 mit den dazugehörigen x durch, die du ja eben (oder ich :D) ausgerechnet hast uns siehst dann welcher y-Wert am kleinsten ist.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:35 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
hey okay danke:)
aber ich versteh den letzten schritt, den ich machen soll , nicht:(
wenn ich t=0,5 einsetze:
(0,5)³- (4t-t³)- (0,5)² ?!?!? aber da kommt nich 5/ 8 raus :( hilfe :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mi 31.05.2006 | | Autor: | piet.t |
ACHTUNG!
Die gegebenen Werte für t beziehen sich meiner Meinung nach nur auf die Zeichnung, für Aufgabe b) und c) sind wohl wieder alle t>0 erlaubt.
...und für b) würde ich auf den ersten Blick sagen stimmt da janes Lösung t=4/3.
Auch c) ist grundsätzlich in Ordnung, nur musst Du noch den einen richtigen t-Wert aus Deinen 5 Möglichkeiten rausfinden.
Alle t<0 sind nicht zulässig laut Angabe, das erledigt schon mal 2 Möglichkeiten. Und die anderen drei musst Du jetzt eben in Dein y(t) einsetzen und feststellen, wann das am kleinsten wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Oh, wenn das so ist dann sorry. Dachte man soll nur mit den vorgegebenen Werten arbeiten.
Edit: Und zu b)
Ich würde auch sagen, dass es stimmt. Es wurde ja der Extremwert für x ausgerechnet, also sollte das richtig so sein. Ich lass mir den Grafen mal zeichnen und sag dann genaueres :)
Edit2: Ok, für t> [mm] \bruch{4}{3} [/mm] gehen die x-Koordinaten wieder zurück.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
okay...ich hab auch raus, dass bei 4/3 der kleinste Wert liegt....Jetzt muss ich aber leider nochmal kurz auf die erste Aufgabe eingehen...mit dem Zeichnen...Also man sieht ja dass sich bei jedem t der Graph verschiebt...Aber ich hab Null Ahnung wie ich den zeichnen soll?! Mit welchen Funktionen?
Danke:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Wenn du für t=0 einsetzt, dann ist die Funktion einfach nur f(x)=x³ :)
in der Klammer (4t-t³) kommt ja 0 raus und damit fällt das alles weg.
Den kannst du ja easy zeichnen. Und setzt mal in die Funktion mal jedes t (0,5; 1; 2; 2,5) ein und guck was dann rauskommt. Und für all die Funktionen die du da erhälst machst du ne Wertetabelle und skizzierst die nur.
Wenn du's genauer machen willst kannst du von jeder einzelnen Funktion noch die Extremwerte bestimmen und Wendepunkte, Nullstellen etc... aber nur wenn dus's ganz genau machen willst/musst :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
Danke:)
Also so?:
f(x)= (0,5)³ = 0,125
f(x)= (1)³= 1
f(x)= (2)³= 8
f(x)= (2,5)³= 15,625
...So jetzt hab ich ja einen x und einen y - Wert...und das reicht dann schon?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Stell erstmal alle 5 verschiedenen Gleichungen auf.
Wenn du t=0 machst wird die Funktion x³-(4t-t³)x² einfach nur zu f(x)=x³
Wenn du t=1 machst wird die Funktion x³-(4t-t³)x² zu f(x)=x³-3x²
Wenn du t=2 machst wird die Funktion x³-(4t-t³)x² zu f(x)=x³ wieder. das gleiche machste nochmal für 0,5 und 2,5.
Dann hast du da 5 verschiedene Funktionen die du mithilfe einer Wertetabelle skizzieren musst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
okay gut mach ich:)
für t=2 -> x³- x²
und für t= 0,5 -> x³- 1,875x²
...wie denn skizzieren:( kannst du mir das noch ein bisschen genauer erklären? danke :-*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
> für t=2 -> x³- x²
Du meintest sicher für t=2,5 denn 2 habe ich dir ja schon gegeben :) aber für 2,5 ist das auch falsch.
Ich habe da f(x)=x³+5,625x².
Ok, dann nimmst du dir einfach mal die einfachste Funktion zuerst, f(x)=x³
Dann machst du eine Tabelle mit 2 Spalten und... naja vielleicht 6-8 Zeilen (kannst gerne mehr machen, je mehr desto genauer wird das alles). In die eine Spalte schriebst du x und in die andere y. Dann wählst du dir einfach ganz willkürlich ein paar x-Werte raus.
x| y
-5|
-4|
-3|
-2|
-1|
0 |
1 |
2|
3 |
So z.B.
Du kannst wie gesgat auch noch feiner unterteilen (in 0,5er-Schritten oder so).
Und all diese x-Werte setzt du einmal in die Gleichung f(x)=x³ ein. Dann hast du eine Wertetabelle, mit der du die Funktion skizzieren kannst.
z.B. bei 0: Wenn du für x gleich 0 einsetzt wird y auch 0 [mm] \Rightarrow [/mm] du hast also einen punkt bei (0|0).
Wenn du für x 1 einsetzt wird y auch 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Du hast'n Punkt bei (1|1).
Wenn du für x gleich -1 einsetzt wird y auch -1 [mm] \Rightarrow [/mm] Punkt bei (-1|-1).
Wenn du für x gleich 2 einsetzt wird y 8. [mm] \Rightarrow [/mm] Punkt bei (2|8).
Das ist eine Riesenarbeit :( aber geht ja leider nicht anders.
Und die Punkte erbindest du halt alle und du hast deine Funktion :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
Okay:) Danke Teufel...das werde ich jetzt nicht mehr machen, weil ich hundemüdeee bin, aber ich hab das Prinzip verstanden! Danke für deine große Hilfe heute! Wünsche dir noch einen schönen Abend und hoffentlich bis bald:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Jup, machs gut dann :) hätte ich auch keinen Nerv zu ehrlich gesagt... könnte dir auch alle zeichnen lassen und du zeichnest die ab. Ist ja nur noch x-Werte ausrechnen, guckenw as rauskommt und Punkte setzen und verbinden...
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