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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:49 So 13.11.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo zusammen.
Seien Funktionen [mm]F_n:[0,1] \to [0,1][/mm] rekursivdefiniert durch:
[mm]F_1(x):=x; F_{n+1}(x):=\begin{cases}{\bruch{1}{2} F_n(3x) & \mbox{für } 0 \le x \le \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2} & \mbox{für } \bruch{1}{3} < x < \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2}(1+F_n(3x-2)) & \mbox{für } \bruch{2}{3} \le x \le 1 } \end{cases} [/mm]
Zeigen Sie: Für jedes [mm]x \in [0,1][/mm] existiert ein [mm]F(x)= \limes_{n\rightarrow\infty} F_n(x)[/mm], Funktion [mm]F[/mm] ist stetig und isoton.
Also: [mm]F_1[/mm] ist stetig, weil Identität. [mm]F_2[/mm] ist aber auch stetig, da in den Bereichen [mm]\left[0,\bruch{1}{3}\right][/mm] und [mm]\left[\bruch{2}{3},1\right][/mm] ja auch nur die Vorfunktion abgebildet wird, die ja auch stetig war.
Kann man das so einfach sagen. (mit vollständiger Induktion)?
Beim Limes würde ich sagen, dass es für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] würde ich argumentieren, dass dann alle Punkte des Graphen die Werte [mm]\left(\frac{1}{2}\right)^{n}[/mm] bzw. [mm]\left(\frac{3}{4}\right)^{n}[/mm] annehmen, es also immer mehr und mehr "waagrechte" Stücke im Graphen gibt?
Nur - wie zeigt man dies mathematisch?
Besten Dank, und viele Grüsse,
Crispy
P.S. Diese Funktion ist wirklich ein "Teufelsding".
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Crispy!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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