Tetraeder Drehgruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:18 So 11.11.2007 | | Autor: | Pawelos |
HI
Wir haben die Aufgabe bekommen die Elemente der Drehgruppe eines Tetraeders auf zu listen.
Ich hab ein bisschen rumgeschaut und wo ich auf sowas gestoßen bin waren immer die Drehungen
1. Um die Achse "Ecke und den Mittelpunkt des gegenüberliegenden Dreiecks"
und
2. Um die Achse der gegenüberliegende Kantenmitten.
Und am ende kommen durch verknüpfen 12 Drehungen heraus.
Also meine Idee war wie bei 1. und dann einfach eine andere Ecke festhalten und drehen. Bin auch auf 12 verschiedene Drehungen am ende gekommen.
Hat das nen Grund warum man das so nicht macht oder ist das völlig egal?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:43 So 11.11.2007 | | Autor: | Sparqie |
Ok, erstmal sollen 12 Drehungen rauskommen. Normalerweise würden es reichen, alle 4 Ecken einmal festzuhalten, als Drehachse die Strecke zur gegenüberliegenden Seitenmitte zu nehmen und dann die drei Drehungen um [mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] als Elemente der Drehgruppe festzustellen.
Man kann dasselbe mit Kanten und Seiten machen, dann bekommt man wieder 12 Elemente, aber die Drehgruppen sind jeweils isomorph.
Ziel dieser Aufgabe ist es wohl, die Klassenglg. ord T = [mm] Stab_{G} [/mm] (m) * [mm] |Bahn_{G} [/mm] (m)| [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M = Menge der Ecken, Seiten und Kanten des Tetraeders zu entwickeln
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:14 So 11.11.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Ok, erstmal sollen 12 Drehungen rauskommen. Normalerweise
> würden es reichen, alle 4 Ecken einmal festzuhalten, als
> Drehachse die Strecke zur gegenüberliegenden Seitenmitte zu
> nehmen und dann die drei Drehungen um [mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] als
> Elemente der Drehgruppe festzustellen.
Hallo,
wie in meiner Antwort an Pavelos erwähnt: Du zählst hier die Identische Abbildung vierfach!
>
> Man kann dasselbe mit Kanten und Seiten machen, dann
> bekommt man wieder 12 Elemente, aber die Drehgruppen sind
> jeweils isomorph.
Hier weiß ich nicht genau, welche Kanten und Seiten Du meinst.
Die Drehungen um die Achsen durch die Mitten gegenüberliegender Seiten unterscheiden sich jedenfalls von den oben besprochenen Drehungen sehr: sie habe die =rdnung 2 und nicht die Ordnung 3.
Gruß v. Angela
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> HI
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> Wir haben die Aufgabe bekommen die Elemente der Drehgruppe
> eines Tetraeders auf zu listen.
> Ich hab ein bisschen rumgeschaut und wo ich auf sowas
> gestoßen bin waren immer die Drehungen
> 1. Um die Achse "Ecke und den Mittelpunkt des
> gegenüberliegenden Dreiecks"
> und
> 2. Um die Achse der gegenüberliegende Kantenmitten.
> Und am ende kommen durch verknüpfen 12 Drehungen heraus.
> Also meine Idee war wie bei 1. und dann einfach eine
> andere Ecke festhalten und drehen. Bin auch auf 12
> verschiedene Drehungen am ende gekommen.
> Hat das nen Grund warum man das so nicht macht oder ist
> das völlig egal?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dein Tetraeder Hat ja 4 Ecken, und wenn ich Dich recht verstehe, ist Dein Gedanke der, daß Du um jede der entprechenden Drehachsen drei Drehungen hast, also 4*3=12 Drehungen. Habe ich Dich da richtig verstanden?
Das stimmt aber nicht. Du kannst jedesmal um 120° und um 240° drehen, damit hast Du 8 Drehungen, nimmst Du die Identität, bei der Du nicht drehst dazu, hast Du neun. Aber Du darfst die Drehung um 0° nicht bei jeder der Achsen dazunehmen. Es ist ja egal um welche der Achsen Du um 0° drehst.
Hinzu kommen dann noch die von Dir oben beschriebenen Drehungen um 180° um die drei Achsen, die jeweils durch die Mitte gegenüberliegender Seiten gehen, und damit bist Du dann bei 12 Drehungen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 11.11.2007 | | Autor: | Pawelos |
> Dein Tetraeder Hat ja 4 Ecken, und wenn ich Dich recht
> verstehe, ist Dein Gedanke der, daß Du um jede der
> entprechenden Drehachsen drei Drehungen hast, also 4*3=12
> Drehungen. Habe ich Dich da richtig verstanden?
Ne so mein ich das nicht. Sein die 4 Ecken a,b,c,d.
Also so wie es überall steht ist ja mit 2 Abbildungen
1. f(a,b,c,d) = (c,a,b,d) Die Ecke d wird Festgehalten und gedreht
2. g(a,b,c,d) = (c,d,a,b) Die andere Drehung etwas schwer zu beschreiben aber ich denke du weist was ich meine.
Ich hab die 1 also f genau so aber als zweites hab ich einfach "h(a,b,c,d) = (a,d,b,c)" gewählt. und hab dann rumprobiert die zu verknüpfen.
z.B. ist g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] h nämlich (d,b,a,c)
und das trifft wenn ich mich nicht täusche auf alle 12 möglichkeinen zu was ich mit f und g erreiche erreiche ich auch mit f und h nur mit unterschiedlichen "rechen wegen"
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> Ne so mein ich das nicht. Sein die 4 Ecken a,b,c,d.
> Also so wie es überall steht ist ja mit 2 Abbildungen
> 1. f(a,b,c,d) = (c,a,b,d) Die Ecke d wird
> Festgehalten und gedreht
> 2. g(a,b,c,d) = (c,d,a,b) Die andere Drehung etwas
> schwer zu beschreiben aber ich denke du weist was ich
> meine.
Hallo,
ich verstehe Deine 2. Drehung nicht - bzw. ich meine, daß es sie nicht gibt.
Um wieviel Grad sollte die sein, und mit welcher Drehachse?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Mo 12.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi ihr beiden!
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> > Ne so mein ich das nicht. Sein die 4 Ecken a,b,c,d.
> > Also so wie es überall steht ist ja mit 2 Abbildungen
> > 1. f(a,b,c,d) = (c,a,b,d) Die Ecke d wird
> > Festgehalten und gedreht
> > 2. g(a,b,c,d) = (c,d,a,b) Die andere Drehung etwas
> > schwer zu beschreiben aber ich denke du weist was ich
> > meine.
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> ich verstehe Deine 2. Drehung nicht - bzw. ich meine, daß
> es sie nicht gibt.
> Um wieviel Grad sollte die sein, und mit welcher
> Drehachse?
G vertauscht a mit c und b mit d, soll also die 180°-Drehung um die Achse durch die Seitenmitten von ac und bd sein, denkichmal; in Zyklenschreibweise (ac)(bd).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> G vertauscht a mit c und b mit d, soll also die
> 180°-Drehung um die Achse durch die Seitenmitten von ac und
> bd sein, denkichmal; in Zyklenschreibweise (ac)(bd).
Achso.
Dann wäre es ja haargenau die Drehung um die Achse durch die gegenüberliegenden Seitenmitten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Pawelos |
Ja genau das meine ich. (Wusste nur nicht recht wie man das aufsreibt)
Und meine Vermutung ist ja das ich all die Drehungen auch durch 2 (120°) Drehungen an 2 verschiedenen Ecken durchführen kann.
Oder gibt es einen Grund warum das überall mit einer 120° und einer 180° Drehung beschrieben wird???
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